Алгебраические преобразования

Отнесем тело к системе координат xl (i = 1, 2, 3), которую выберем так, чтобы границы тела и области возмущений частично или полностью входили в число координатных поверхностей. В этом случае граничные условия формулируются наиболее просто, следовательно, облегчается построение решения задачи о напряженно-деформированном состоянии тела и движении его частиц в области возмущений. Система координат х1 характеризуется метрическим тензором (g) = gtjftt = g"r, г/ = gfcr/, где gt] = (rpj), gli = (iV), gi = (rt/) — соответственно ковариантные, контравариантные и смешанные компоненты, причем g'1' = Gtj/g; здесь G^ — алгебраические дополнения элементов gtj определителя g — det ((gij)).

Здесь aiK — алгебраические дополнения (миноры со знаками), рассчитываемые по основной матрице. В нашем случае.

В формулах (3.21) и (3.22) Д и Aife — детерминант и его алгебраические дополнения согласно следующему обозначению:

NmJ—алгебраические дополнения N (р)^ в соответствии с (8.41), {р! + В}т— элементы матриц (pi + -б?'?)- Здесь в обозначениях матриц N (p)^ и вектор-функций S4'Е в целях упрощения записи опущены индексы q, t,. Указанное относится к вектор-функциям

Под Д. (ш*) везде по-прежнему понимаются алгебраические дополнения элемента последней строки и t'-ro столбца характеристического определителя системы Д(шр.

Поскольку в этом случае все алгебраические дополнения равны друг другу: AI (0) = Д3 (0) — Д3 (0) = ... = Д,((0), то выражение (125) для обобщенной силы запишется в виде

Если характеристический определитель системы равен Д (ws), a его алгебраические дополнения по /-му столбцу и n-й строке при s-м главном колебании Д( (и>«), то отклонение любой из масс от положения равновесия — у} согласно уравнению (85) будет следующим:

Алгебраические дополнения элемента последней строки и первого столбца определителя системы для ш* — 36:

Алгебраические дополнения определителя Д (w2) по последней строке и первому столбцу:

Задача состоит в том, чтобы найти моменты сил упругости в линиях передач машины при заданных внешних нагрузочных моментах. Для вычисления моментов сил упругости необходимо составить дифференциальные уравнения движения элементов машины, написать определитель системы, затем вычислить алгебраические дополнения всех элементов его последней строки. Отношения между этими алгебраическими дополнениями дадут коэффициенты YIS. которые при учете внешних нагрузок определяют все необходимые величины для вычисления упругих моментов.

§ 22. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СИСТЕМЫ И ЕГО АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

(Читателю предлагается самому проверить алгебраические преобразования.) Мы исходили из того, что х(0) = 0 и у(0)=0.

Из уравнений (1.69) и (1.70) можно исключить время t [для этого нужно выразить t в явной форме из уравнения (1.69), подставить в уравнение (1.70), а затем проделать алгебраические преобразования], тогда получим для расстояния s вспомогательную формулу, которую удобно применять при решении многих задач:

В последнем уравнении заменим значения ускорения а и перемещения s их выражениями по (а) и (б) и выполним несложные алгебраические преобразования

Разумеется, эти формулы можно получить также из указанной выше системы девяти линейных уравнений, применяя обычные алгебраические преобразования. Достоинство матричной записи состоит главным образом в применении формулы умножения матриц, позволяющей единообразно выполнять последовательные преобразования координат.

Разумеется, уравнения (2.9) можно было бы получить также из системы шести уравнений (2.1), (2.2) и (2.3), применяя обычные алгебраические преобразования, но при этом вычисления были бы более громоздкими. Достоинство матричной формы записи состоит, главным образом, в применении формулы умножения матриц, позволяющей единообразно выполнять последовательные преобразования координат.

Умножив и разделив правую часть уравнения (2-83) на е-™г и произведя простые алгебраические преобразования, получим:

устойчивости и представили решение аналогичной задачи, основанное на линейной теории трехслойных оболочек Стейна и Майерса [268]. В работе Берта и др. считалось, что коэффициент Пуассона при изгибе и растяжении одинаков. Это предположение несколько упрощает алгебраические преобразования и не слишком ограничивает практическое использование полученного решения. Петерсон [220] представил анализ, не использующий этой гипотезы. \

Выражение для возмущающей функции f(t) через элементы системы и внешние нагрузки получается относительно несложно только в простых системах, например, в системах без разветвлений; во всех же других случаях алгебраические преобразования, связанные с получением одного дифференциального уравнения высокой степени и его правой части, очень сложны. При разветвленных эквивалентных схемах упругие моменты ответвлений входят в качестве дополнительных слагаемых в левую часть системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний. При этом левые части дифференциальных уравнений будут содержать более трех членов с неизвестными функциями, часть из которых находится под знаком производных.

В настоящей книге свойства поляризованного света рассматриваются с помощью таких алгебраических выражений, как уравнение (1.28). Этот метод прост, быстро приводит к цели и позволяет непосредственно и легко отобразить физическую картину явления. Его недостаток заключается в необходимости производить длительные, иногда громоздкие алгебраические преобразования. Свойства поляризованного света можно изучать также с использованием сферического отображения, предложенного Пуанкаре [3] и недавно использованного авторами работ [4, 5] *). Их можно изучать также по методу «/-круга», который особенно полезен при анализе объемных задач [6].

Проведя соответствующую подстановку и последующие алгебраические преобразования, получаем

Пренебрегая величинами ц < 0,01 и р,у2 < -ц--10~2, а также производя алгебраические преобразования, получим