Алгебраических преобразований

Интегральные уравнения при определенных условиях могут вырождаться в алгебраические, т. е. они будут приводить к одному и тому же результату. Найдём условия, при которых интегральные и алгебраические уравнения будут находиться в точном соответствии друг с другом. Полное соответствие означает, что должно иметь место равенство местных и средних значений плотностей соответствующих лучистых потоков. Например, для падающего излучения это выражается соотнрше-нием

Как уже отмечалось выше, дифференциальные (и алгебраические) уравнения, записываемые для марковских процессов, являются уравнениями баланса "перетоков вероятностей". Обозначим через Gi подмножество состояний, из которых возможно непосредственное попадание в рассматриваемое состояние /, а через С,-'- подмножество состояний, в которые можно попасть непосредственно из состояния /. Изменение вероятности р{ (t), т.е. p. (t), осуществляется за счет "притоков" с интенсивностями А... из состояний j, принадлежащих подмножеству G-, а также за счет "оттоков" с интенсивностями А.„ в состояния/, принадлежащие подмножеству С,-.

Матричные алгебраические уравнения (5.7), принимая во внимание все линейно независимые решения дифференциального уравнения (5.5), можно записать в виде

Основные вычислительные сложности при построении решения системы дифференциальных уравнений движения вынужденных колебаний (6.35) обусловлены определением полюсов подынтегральной функции eptN~l (p) F (р) и нахождением вычетов этой функции по соответствующим полюсам. Отыскание указанных выше полюсов связано с необходимостью решать алгебраические уравнения обычно высоких порядков, что осуществимо только численными методами. Отметим, что в ряде практически важных случаев не столько необходимо знать закон движения какого-либо из звеньев привода, сколько экстремальные значения динамических характеристик (момента двигателя, момента сил упругости в рассматриваемом соединении, скоростей звеньев). Следовательно, актуальной является проблема разработки эффективных приближенных методов, позволяющих с требуемой точностью оценить решение системы дифференциальных уравнений движения.

§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения (5.35), (5.42) и (5.43) содержат только внутренние параметры звеньев механизма и не привязаны ни к какой системе координат. Поэтому это уравнение позволяет не только производить количественные расчеты положений звеньев, но и анализировать закономерности движения, связанные с природой алгебраического уравнения, определяемой структурой механизма. Положение как осей звеньев 2 и 3, так и любых точек звеньев полностью определяется в функции времени, а поэтому полученные алгебраические уравнения полностью определяют кинематику механизма 1.

§ 3. Алгебраические уравнения................. 28

Метод Ф. М. Диментберга базируется на распространении формулы О. Родрига конечного поворота на операции с винтами и бивекторами (см. п. 22). При этом для вывода уравнений для определения параметров движения механизмов используются основные алгебраические операции над бивекторами, в результате чего после разделения вещественных и моментных частей комплексных уравнений получаются алгебраические уравнения относительно искомых параметров.

В подпрограмме Б—II решаются совместно дифференциальные и алгебраические уравнения, описывающие изменение параметров газа вдоль оси г. Если течение рассчитывается от равновесного начального состояния, то исходные данные подаются на вход подпрограммы Б — I, если же исследуется течение от неравновесного состояния,— непосредственно на вход подпрограммы Б—II.

1. Выведены алгебраические уравнения геометрического синтеза пространственного направляющего четырехзвенного криво-шипно-коромыслового механизма, содержащие лишь независимые постоянные параметры схемы механизма, пригодные для решения задач синтеза любыми методами [8].

Выведены алгебраические уравнения геометрического синтеза пространственного направляющего четырехзвенного кривошипно-коромыслового механизма, содержащие лишь независимые постоянные параметры схемы механизма и пригодные для решения задач синтеза любыми методами. Вывод основан на гиперкомплексном представлении векторов в декартовой косоугольной и эквивалентной сферической системах координат. Установлено, что при синтезе рассматриваемого механизма по методу точечного интерполирования количество заданных точек шатунной траектории не должно превышать 9 в общем случае и 7 при расположении точки шатуна на его продольной оси. При этом развитый в статье метод дает возможность получить минимальное количество уравнений системы — 27 в первом случае и 21 во втором случае.

Синтез механизма пространственного четырехзвенника осуществляют и методом Чебышева. Ввиду громоздкости алгебраических преобразований для общего случая рассмотрим этот мет< 1ля частного случая, когда оси кинематических пар Л' и D' скрещиваются под углом 90° (рис. 8.3). Заданной является функция положения <ра == ф3 (ф^ ; в результате синтеза необходимо определить размеры звеньев /, 2 и 3. Направим ось Оу по оси вращения кинематической

В уравнениях (69) содержатся принципиальные физические результаты. Целесообразно перевести эти уравнения в векторную форму. После кропотливых алгебраических преобразований, которые мы воспроизводим ниже, получается следующий важный результат:

Подставив (75) в (74) и используя (72), получаем после некоторых алгебраических преобразований следующие соотношения:

Системы функций т(хг), Т]п(л:2), ?р(я3), Р«(^р) образуют полные системы фундаментальных функций, удовлетворяющие нулевым граничным условиям и подчиненные [19] следующим требованиям: 1) функции ограничены по модулю; 2) модуль функции убывает с ростом ее индекса; 3) функции простые. Подставляя (1.3.68) в общее решение (1.3.56). после алгебраических преобразований получим выражения компонент корректирующего тензора

Для этого надо путем простых алгебраических преобразований исключить один из четырех параметров состояния. Эти формулы приводятся в подробных курсах по технической термодинамике.

Если в уравнение (3-24) подставить значение скорости с из уравнения (3-21) и значение удельного объема У2 из уравнения (а), то после некоторых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления секундного расхода идеального газа:

Если в справочнике не имеется готовой формулы (сравнительно редкий случай), то путем алгебраических преобразований стараются получить изображение в виде суммы изображений, для которых оригиналы известны. Например, изображение (9.46) -можно преобразовать к виду

правая часть которого зависит от величины предела выносливости как от параметра, а левая часть от него не зависит. Другой формой записи этого же условия прочности будет такая, когда а результате алгебраических преобразований в левой части неравенства оказывается величина (Т_ь а в правой — некоторая функция, зависящая от параметров спектра, общего числа циклов и параметров кривой усталости, в том числе и от o_i. Значения этой функции имеют смысл приведенного напряжения, и условие прочности записывается 'в виде, аналогичном расчету по пределу выносливости при стационарном нагружении:

Чтобы ответить на этот вопрос, записанное неравенство путем несложных алгебраических преобразований приведем к следующему виду:

Вводя новые переменные, после алгебраических преобразований системы (7. 21) получаем

Это уравнение связывает координаты точки, участвующей в рассматриваемом нами сложном движении. После некоторых алгебраических преобразований его можно представить в более известном виде: