Алгебраической аппроксимации

При упрочнении диск подвергают нагреву с периферии (рис. 276, л]. Температуру нагрева и градиент температуры по радиусу диска выбирают так, чтобы вызвать во внутренних холодных слоях остаточные деформации растяжения. После охлаждения растянутые слои сжимаются упругим действием наружных слоев; во внутренних слоях возникают преднапряже-ния сжатия, в наружных — растяжения (рис. 276, м). При действии рабочей нагрузки (рис1. 276,'и), остаточные и рабочие напряжения алгебраически складываются; результирующие напряжения (рис. 276, о) имеют меньшую величину и распределены более благоприятно, чем в случае диска, не подвергнутого упрочнению.

Напряжения алгебраически складываются ' из напряжений начальной затяжки о'о (рис. 7.26, а), напряжений ст,.-от внешней отрывающей стык силы F,~, (рис. 7.26, б) и напряжений од( от внешнего опрокидывающего стык момента Мст (рис. 7.26, и):

линейные погрешности, мертвые ходы в зубчатых передачах и других звеньях. Величины, характеризующие рассеяние отклонений независимых составляющих погрешностей, суммируются квадратично (корень квадратный из суммы квадратов). Сюда, например, относятся векторные погрешности, погрешности зубчатых передач. Систематические погрешности алгебраически складываются между собой и с результатом квадратичного суммирования случайных погрешностей.

Асимметрия цикла. Во многих случаях, кроме циклической составляющей напряжения, имеется статическая (постоянная) составляющая, т.е. нагружение происходит асимметрично. При возрастании статической составляющей напряжений циклические напряжения, приводящие металл к разрушению, снижаются, так как фактически разрушение определяется суммированием статических и циклических напряжений. Наиболее простой случай одновременного статического и циклического нагружения — наложение статического растяжения (или сжатия) при циклическом одноосном растяжении—сжатии. В этом случае напряжения алгебраически складываются и металл подвергается асимметричному растяжению-сжатию, пульсирующему растяжению или пульсирующему сжатию. На рис. 104, 105 представлены так называемые полные диаграммы усталости сплавов ВТЗ-1 и Ti—6 % AI—4 % V (типа сплава ВТ6) при различных температурах и различной концентрации напряжений (круговой надрез) [95 и др.]. Эти диаграммы представляют зависимость разрушающих циклических напряжений, которые уменьшаются при наложении возрастающего статического напряжения растяжения. Предельной точкой этих диаграмм является величина статического напряжения, равная пределу текучести материала, когда практически нулевые циклические напряжения могут привести к разрушению. Циклическая состав-

При упрочнении диск подвергают нагреву с периферии (рис. 276, л). Температуру нагрева и градиент температуры по радиусу диска выбирают так, чтобы вызвать во внутренних холодных слоях остаточные деформации растяжения. После охлаждения растянутые слои сжимаются упругим действием наружных слоев; во внутренних слоях возникают преднапряже-ния сжатия, в наружных — растяжения (рис. 276, м). При действии рабочей нагрузки (рис1. 276,'н). остаточные и рабочие напряжения алгебраически складываются; результирующие напряжения (рис. 276, в) имеют меньшую величину и распределены более благоприятно, чем в случае диска, не подвергнутого упрочнейию. '. . •

В дальнейшем будем рассматривать только случай воздействия тепловой энергии, вызывающей изменение технологической надежности станков. На рис. 2 показана функциональная схема получения диаметральных размеров деталей на то-карно-револьверном автомате 1Б118. Здесь г/ь ... г/в — размеры отдельных деталей станка или заданные настройкой положения его узлов, входящие в размерную цепь получения размеров обрабатываемых деталей. Под действием тепловыделений (возмущающих воздействий /ь ... /е) эти размеры изменяются на величины г/i/, . . . г/е/. Поскольку в автомате нагреваются в первую очередь корпусные детали (станина, шпиндельная бабка), тепловые деформации которых непосредственно сказываются на изменении точности обработки диаметров деталей, величины уц и г/# алгебраически складываются. Более сложная схема получается для станков, у которых точность обработки нарушается из-за нагрева элементов конструкции, обеспечивающих точность выполнения и управления перемещениями заготовки и инструмента (например, в гидрокопировальных станках).

-~ &М [л, (фиг. 36, а). Эти моменты алгебраически складываются с неуравновешенными моментами узлов, смежных с узлом А, и являются вторичными по отношению к ним.

Возникающие на противоположных концах стержней моменты равны 0,5ДМЛ[г; (фиг. 155, а). Эти моменты алгебраически складываются с неуравновешенными моментами узлов, смежных с узлом А, и являются вторичными по отношению к ним.

Эффективность работы коррекционного устройства зависит в большой степзни от того, какому из звеньев цепи они сообщают добавочное движение. Наиболее эффективными являются коррекционные устройства, сообщающие добавочные движения одному из быстроходных звеньев цепи. Эти добавочные движения непосредственно (алгебраически) складываются с основными движениями звена.

Задачу определения суммарной погрешности механической обработки можно сравнить с задачей определения допуска на замыкающее звено размерной цепи. При решении этой задачи по максимуму и минимуму члены выражения (7) алгебраически складываются А = Ау + + е + Аи + АН + АГ + ?Дф. Суммарную погрешность диаметральных размеров следует определять без учета величины е. Составляющая е исключается также при определении суммарной погрешности размера, связывающего два противолежащих элемента, подвергаемых одновременной обработке цельным или наборным инструментом (шпоночные пазы, гребни). Величину ЕД0 следует определять с учетом взаимной компенсации ее отдельных составляющих.

Валик вибратора 4 имеет на своем конце шейку с резьбой, ось которой расположена эксцентрично относительно оси валика. На шейку валика с резьбой навернута и законтрена глухая гайка вибратора, имеющая цилиндрический палец. Ось пальца, в свою очередь, эксцентрична относительно оси гайки, при этом величина эксцентрицитетов гайки и валика вибратора одинакова. Поэтому при повороте гайки относительно валика вибратора их эксцентрицитеты алгебраически складываются, изменяясь в сумме от нуля до максимального значения, позволяя изменять амплитуду вибрации, передаваемой на втулку золотниковой коробки гидроусилителя 9 при помощи тяги 8, насаженной на палец гайки вибратора.

напряжения алгебраически складываются и металл подвергается

и) Метод алгебраической аппроксимации. Весьма распространенным методом численного решения интегральных уравнений является метод их аппроксимации системой линейных алгебраических уравнений [Л. 117, 118]. Этот метод основан на приближенной замене интеграла по рассматриваемой области в (7-71) квадратурной формулой того или иного вида. При этом могут быть использованы различные квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, касательных, формулы Симпсона, Чебышева, Гаусса и пр.). Выбирая в области [АВ] п точек Xi (г=1, 2, ..., п), записывая последовательно интегральное уравнение (7-71) для каждой из этих узловых точек и проводя квадратурную аппроксимацию интеграла в (7-71), получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Оценка погрешности метода алгебраической аппроксимации приводится в [Л. 117]. В принципе точность этого метода возрастает с увеличением числа узловых точек, однако одновременно с этим прогрессивно усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений (7-83) за счет увеличения числа уравнений. Метод алгебраической 'аппроксимации также широко используется при исследовании радиационного теплообмена на основе интегральных уравнений при различных постановках задачи [Л. 124—128, 354, 355].

Большое распространение при выполнении расчетов радиационного теплообмена в различных областях науки и техники получили методы алгебраического приближения. Существует несколько разновидностей этих методов, «о все они в математическом отношении основываются на той или иной алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Получаемая при такой аппроксимации система линейных алгебраических уравнений, решаемая затем аналитически или численно, представляет собой алгебраическое приближение в описании процесса радиационного теплообмена. При этом, как правило, большая степень приближения достигается за счет прогрессивного усложнения разрешающей системы алгебраических уравнений.

Первый, так называемый классический подход в методах алгебраического приближения характеризуется тем, что алгебраической аппроксимации подвергается непосредственно исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена, составленное для любого вида плотностей излучения. Для определения средних по дискретным участкам излучающей системы плотностей излучения подобная аппроксимация, по-видимому, впервые была применена О. Е. Власовым [Л. 100] при решении частной задачи переноса излучения в каналах с адиабатическими стенками. В дальнейшем эта идея была развита и обобщена для произвольного числа серых диффузных поверхностей, разделенных диатермической средой, и для систем с поглощающей средой в работах Г. Л. Поляка [Л. 19, 93, 130].

При первом подходе для определения локальных плотностей излучения непосредственно используется метод алгебраической аппроксимации интегральных уравнений радиационного теплообмена, изложенный в гл. 7. Для этого в исследуемой системе выбирается определенное число узловых точек и исходное интегральное уравнение аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу узловых точек. Этот метод определения локальных плотностей излучения был использован при решении различных задач радиационного теплообмена и дал положительные результаты [Л. 60, 354, 355, 367].

Вначале рассмотрим возможности уточнения и обобщения зонального метода расчета теплообмена излучением для классического подхода, когда непосредственной алгебраической аппроксимации подвергается исходное интегральное уравнение теплообмена излучением.

г) Определение коэффициентов облученности. При алгебраической аппроксимации уравнения (8-1) для получения системы алгебраических уравнений зонального метода (8-2) в последних появляются средние коэффи-

Определение локальных плотностей излучения возможно производить не только на основе зонального метода, но и исходя из непосредственной алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена

Сущность квадратурного метода алгебраической аппроксимации состоит в выборе в излучающей системе ряда точек, для которых определяются локальные плотности излучения, и в замене интеграла квадратурной формулой того или иного типа. Рассмотрим квадратурный метод применительно к произвольным излучающим системам, процесс радиационного теплообмена в которых описывается обобщенными интегральными уравнениями. Как было показано, обобщенное интегральное уравнение относительно эффективной и собственной плотностей излучения записывается в виде

Весьма интересным в связи с оценкой перспектив резольвентного метода определения локальных плотностей излучения является сопоставление полученных с его помощью результатов с решениями, основанными на итерационном методе при классическом подходе, описанном выше. Последний метод позволяет находить локальные плотности излучения с различной степенью приближения и основан на непосредственной алгебраической аппроксимации интегрального уравнения теплообмена излучением.

Как отмечалось в гл. 8, большое практическое применение получили зональные методы расчета радиационного теплообмена, основанные на алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Естественно, что точность этих методов возрастает с увеличением числа зон, на которые разбивается излучающая система, но одновременно с этим усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений, что существенно затрудняет ее решение. Поэтому дальнейший прогресс в использовании методов алгебраического приближения зависит от нахождения эффективных средств решения систем алгебраических уравнений.

Описанный электроинтегратор позволяет решать задачи радиационного теплообмена ,на основании довольно точной алгебраической аппроксимации интегральных уравнений при задании на каждой из зон граничных условий первого, второго или третьего рода.