Алгебраического приближения

чески уравновешенного (Фх = 0), но не прошедшего еще момент -ного уравновешивания (М'\,± =j= 0). При этом надо иметь в виду, что после полного статического уравновешивания в схеме механизма появились противовесы (рис. 6.3, д), массы тк\ и т„3 которых будем приближенно рассматривать как сосредоточенные. Момент силы инерции Фкз противовеса тк3 также должен быть включен в алгебраическое уравнение (6.2). Заметив это, получим

чески уравновешенного (Фг = 0), но не прошедшего еще момент-ного уравновешивания (M®z Ф 0). При этом надо иметь в виду, что после полного статического уравновешивания в схеме механизма появились противовесы (рис. 6.3, д), массы тк\ и ткз которых будем приближенно рассматривать как сосредоточенные. Момент силы инерции Фкз противовеса ткз также должен быть включен в алгебраическое уравнение (6.2). Заметив это, получим

Составляя соответствующее алгебраическое уравнение, оп-

Вычисление того же предела прочности при использовании тензорно-полиномиальной формулировки (например, при сохранении линейных и квадратичных по напряжениям слагаемых в уравнении (56)) требует перехода от F,- и F{j к F\ и р'ц, как и при вычислении ац. Кроме того, предел прочности при одноосном напряженном состоянии нельзя найти простым обращением,, здесь требуется решить алгебраическое уравнение второй степени типа (9). Не учитывая условия устойчивости (Дай и By [46]), Ашкенази отметила, что при решении квадратичного уравнения для некоторых направлений в материале могут предсказываться бесконечные пределы прочности: По-видимому, именно это обстоятельство явилась причиной определения характеризующих прочность постоянных формулами (666). На самом же деле, если при определении F\% учесть значительный разброс экспериментальных данных, то бесконечных пределов прочности не получится (By [53]).

Если все эксперименты — минимум основные, а также дополнительные — проводятся только для одной ориентации материала, то компоненты тензоров поверхности прочности F,-, f,-j, ... ..., F{jk, ... являются скалярными величинами, и, следовательно, критерий разрушения (5) представляет собой алгебраическое уравнение с экспериментально найденными коэффициентами. Для случая тензорно-полиномиального критерия второго порядка в плоской задаче имеется три коэффициента первого порядка (Fi, F2, F6) и шесть коэффициентов второго порядка (^п, Л2, FIG, p22, ?2в, F66). Экспериментальные данные можно обработать оптимальным образом так, чтобы определить все эти девять величин по напряженному состоянию (а*, а*2, а*^, наблюдаемому при разрушении.

Для получения стационарных характеристик для этого же случая из (4.34) получаем алгебраическое уравнение

Решая это алгебраическое уравнение относительно tkj, получаем

Это алгебраическое уравнение степени 2k относительно s, поскольку GH выражаются формулой (17. 178) 4. Поэтому получаем 2k корней S}, (К =1,2 ..... 2k). Поскольку все коэффициенты уравнения (17.179) действительные, все корни этого уравнения, в общем случае, попарно комплексно сопряженные. Разобьем множество индексов Я корней на два подмножества — нечетные Я; = 21 — 1 и четные fa = 21 (1=1,2, ..., k). Тогда указанные корни представим так:

Полученное равенство представляет собой алгебраическое уравнение /г-й степени относительно параметра р. Наименьший корень р\ уравнения (18.122) имеет смысл приближенного значения критической нагрузки: р\ = р* ').

Представив решение этих уравнений в виде «<*> — Леоа, — Be0™, w&) =rCeoot, получим алгебраическое уравнение для характеристического показателя о:

Таким образом, в системе алгебро-дифференциальных уравнений (16.15) алгебраическое уравнение (16.15) на интервале /? [tE, t.^) имеет постоянные коэффициенты. В п. 17 показано, что на интервале /? U8, ^8+1) система уравнений движения машинного агрегата имеет решения из класса Cl [te, te,J и из класса D± [О, t] в соответствии с (17.7). Значения производных у/;, Yft+ь Yft+2 терпят разрывы в точках / = te, для которых Ар! = 1, и определяются по формулам (17.8), (17.9), где величины ф/о и ф?8о вычисляются при помощи зависимостей (15.6), (15.7).

На основе такой общей постановки проведено обобщение и уточнение теоретических методов расчета радиационного теплообмена. Изложены дифференциальные методы расчета теплообмена излучением: дифференциально-разностное и диффузионное приближения, приближение радиационной теплопроводности, тензорное приближение и приближение Милна — Эддингтона. Далее на этой же основе рассмотрены интегральные уравнения теплообмена излучением и методы алгебраического приближения. Рассмотренные теоретические методы проиллюстрированы решением ряда задач, имеющих практическое значение.

Методы алгебраического приближения

8-1. Развитие методов алгебраического приближения

Большое распространение при выполнении расчетов радиационного теплообмена в различных областях науки и техники получили методы алгебраического приближения. Существует несколько разновидностей этих методов, «о все они в математическом отношении основываются на той или иной алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Получаемая при такой аппроксимации система линейных алгебраических уравнений, решаемая затем аналитически или численно, представляет собой алгебраическое приближение в описании процесса радиационного теплообмена. При этом, как правило, большая степень приближения достигается за счет прогрессивного усложнения разрешающей системы алгебраических уравнений.

В историческом развитии методов алгебраического приближения сложились два основных подхода к решению поставленной задачи. При этом оба подхода дают возможность определить как локальные, так и средние значения плотностей различных видов излучения.

Первый, так называемый классический подход в методах алгебраического приближения характеризуется тем, что алгебраической аппроксимации подвергается непосредственно исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена, составленное для любого вида плотностей излучения. Для определения средних по дискретным участкам излучающей системы плотностей излучения подобная аппроксимация, по-видимому, впервые была применена О. Е. Власовым [Л. 100] при решении частной задачи переноса излучения в каналах с адиабатическими стенками. В дальнейшем эта идея была развита и обобщена для произвольного числа серых диффузных поверхностей, разделенных диатермической средой, и для систем с поглощающей средой в работах Г. Л. Поляка [Л. 19, 93, 130].

Наиболее широко используются возможности первого подхода для определения средних плотностей излучения по дискретным участкам (зонам) излучающей системы. Эта наиболее распространенная разновидность алгебраического приближения получила название зонального метода, согласно которому вся излучающая система делится на определенное число зон и в пределах каждой зоны радиационные свойства и плотности излучения либо осредняются, либо с известным допущением принимаются постоянными. С учетом такого деления и принятых допущений исходное интегральное уравнение радиационного теплообмена может быть ап-220

Второй (резольвентный) подход в методах алгебраического приближения основан на резольвентном представлении решения исходного интегрального уравнения теплообмена излучением. На основании известного из математики итерационного метода решение интегрального уравнения можно представить в виде квадратуры, в которой под знак интеграла входят резольвента и известная по условию функция. При этом в свою очередь резольвента от ядра исходного интегрального уравнения удовлетворяет новому интегральному уравнению, в котором фигурируют только оптико-геометрические параметры излучающей системы. Излучающая система аналогично классическому подходу разбивается на зоны, в пределах каждой из которых радиационные характеристики и заданные плотности излучения принимаются постоянными. С учетом такого зонального деления интегральное уравнение для резольвенты аппроксимируется системами линейных алгебраических уравнений, решаемых численно или аналитически.

Детальный анализ первого и второго подхода в методах алгебраического приближения показывает, что при одинаковых посылках .и допущениях они дают тождественный результат в определении средних плотностей излучения по зонам. Нахождение же с помощью второго подхода локальных плотностей излучения эквивалентно нахождению средних плотностей излучения с помощью первого подхода и последующей подстановке средних по зонам значений в исходное интегральное уравнение с целью приближенного 'нахождения локальных плотностей.

В настоящей главе дается анализ методов алгебраического приближения, используемых для расчетов радиационного теплообмена. При этом рассматриваются как классический, так и резольвентный подходы для определения средних и локальных плотностей излучения. С целью устранения, в известной мере, перечисленных недочетов автором предпринято обобщение и уточнение методов алгебраического приближения.

8-5. Резольвентные методы алгебраического приближения