Аналитическое интегрирование

водородом (рН 4.5), на разрывной машине РМ-5. В результате проведенных исследований было установлено, что при напряжениях, не превышающих предела текучести сталей, воздействие последних на их термодинамическую устойчивость (по критериям изменения потенциала коррозии или величин токов в гальванопаре, состоящей из напряженного и ненапряженного металлов) незначительно. Резкое повышение механохимической активности сталей наблюдалось только по достижении механическими напряжениями предела текучести (см. рис. 25). в то время как в области упругих напряжений разблагороживания металла практически не наблюдалось. Это подтверждает корректность сделанных предпосылок при выводе полученной аналитической зависимости. На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том. что учет механохи-мического эффекта необходимо проводить для конструкций, эксплуатирующихся при напряжениях, превышающих предел текучести. Для реальных условий это реализуется при суммировании остаточных растягивающих напряжений металлургического происхождения в трубах большого диаметра, имеющих один порядок величин с рабочими растягивающими напряжениями от внутрен-

ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА. Под выделением тренда понимают отыскание аналитической зависимости, наиболее точно соответствующей детерминированной составляющей временного ряда, т.е. построение функции регрессии членов ряда на время.

Эти уравнения могут служить для взаимной проверки точности найденных величин. Зная их и имея заданным закон движения толкателя в виде графика р (<р) (рис. 4.22, а) или соответствующей аналитической зависимости, можно решить задачу синтеза профиля кулачка, отыскав зависимость радиуса-вектора кулачка г от второй полярной координаты угла а. Если профиль кулачка задан, т. е. известна зависимость г (а), то может быть решена задача анализа и найден закон движения толкателя s (ср). Математические зависимости, связывающие геометрические и кинематические параметры, имеют следующий вид:

Теперь определим скорость циркуляции в обогреваемых трубах контура методом последовательного приближения по аналитической зависимости (2.13). В соответствии с этой формулой для рассматриваемого контура

При использовании аналитической зависимости для кривой усталости при жестком нагружении типа Мэнсона — Коффина усталостное повреждение определяется

Комплексное влияние на усталость параметров качества поверхностного слоя после механической обработки. Для установления аналитической зависимости между характеристиками уста-

Нелинейная модель заменяется линейной одним из двух способов. При первом способе замена осуществляется из условия «достаточной» малости сил реакций «нелинейных» связей по сравнению с силами реакций линейных. При этом обоснованием вводимых упрощений являются фундаментальные результаты из теории дифференциальных уравнений (теоремы о непрерывной и аналитической зависимости решений от параметров и начальных данных,

Условия получены в предположении, что as <^ 1. Отыскать решение нелинейной системы дифференциальных уравнений (3.5), (3.6) в виде аналитической зависимости (Мд, s) не представляется возможным. Для этой цели можно использовать эффективные приближенные методы (см. подробнее гл. III).

Сколько-нибудь достоверное математическое описание гистерезисных потерь в виде аналитической зависимости силы неупругого сопротивления от текущих (мгновенных) Рис. 3. Петля гистерезиса параметров деформации (величины деформации, ее скорости) не представляется возможным. Зависимость вида 31 (а, а) не может согласовать такие экспериментально наблюдаемые факты, как независимость силы неупругого сопротивления от скорости деформации и существенное влияние амплитуды деформации на ширину гистерезисной петли. Некоторыми авторами предложены формулы,выражающие зависимость силы внутреннего неупругого сопротивления от амплитуды гармонической деформации [69]. Эти зависимости имеют нелинейный характер и правомерны лишь при исследовании колебательных процессов, близких к моногармоническим.

Зависимости (1) могут быть заданы в аналитической форме или в виде графиков. При аналитической зависимости для Va и Wa получим ряд их значений, необходимых для построения плана скоростей и ускорений из формул:

где Wb найдется из построения плана ускорений или расчетом по приближенной аналитической зависимости [см. формулу (7), п. 20]

В ряде случаев закон движения толкателя задается сложной функцией, аналитическое интегрирование которой затруднительно. В этом случае закон перемещения толкателя получается применением операторной функции INTGR (см. гл. 5)

формулы для угловых коэффициентов приведены в литературе [8,30]. Однако для поверхности достаточно сложной формы аналитическое интегрирование часто оказывается невозможным, поэтому прибегают к численному интегрированию.

—• Вспомогательные машины 8 — 938—1052;— Автоматизация комплексная 8—941; — Двигатели — Выбор мощности 8 — 954; — Выбор типа 8 — 953; — Выбор числа оборотов 8 — 953; — Проверка ао максимальному моменту 8 — 959; — Проверка по нагреву 8 — 960; — Динамика 8 _ 944; — Классификация 8 — 938; — Конструирование 8 — 939; — Механические части — Упрощение 8 — 9-Ю; — Приводы 8 — 939; — Динамический расчёт 8 — 947; — Дифзренциальное уравнение движения 8 — 947; — Аналитическое интегрирование 8 — 955; — Графическое интегрирование 8 — 957; — Завершение расчёта 8 — 961; — Определение маховых моментов 8 — 952; —- Определение статических моментов 8 — 948;—• Приведённый радиус 8 — 949; — Приведённый статический момент — Определение аналитическим методом 8 —

Аналитическое интегрирование уравнений движения

вать. В частности, для прямотока аналитическое интегрирование системы (4-9') дает следующее решение:

Присоединив к уравнениям (432)—(435) граничные условия, число которых равно восьми (по два условия на каждый край в каждой плоскости), получим систему шестнадцати уравнений относительно шестнадцати неизвестных: wia; wiu\ w2a', w2u; Фю; ф!и; ф2Я; фги; Miai. Мщ; Mza; М2и', Qia', Qiu', Qza', Qzu- Входящие в формулы интегралы вычисляют по кривым моментов инерции, углов установки лопатки и нагрузок, которые задаются тепловым расчетом. Как показала практика, эти кривые могут быть с достаточной для практики точностью аппроксимированы полиномами не выше второй степени. Весьма удобно также графо-аналитическое интегрирование.

Выполненные в работе вычисления показали, что аналитическое интегрирование (1) для вышеперечисленных условий приводит к громоздким аналити-

Для граничных элементов с малым rn t,n становится большим и аналитическое интегрирование возможно лишь в окрестности точки Мп в пределах участка образующей Т'п <: 2 V /V (А/У 50. За пределами этого участка подынтегральное выражение не содержит особенности, и можно пользоваться квадратурными формулами, так что

Так как переменные «5 и MO входят в подынтегральное выражение явно, то по ним можно произвести аналитическое интегрирование. В итоге моментная функция принимает вид

Введение в подынтегральные выражения дополнительного множителя (cos Л)~', характеризующего увеличение коэффициента сопротивления вследствие скольжения, делает невозможным аналитическое интегрирование. Результаты численного интегрирования можно аппроксимировать выражениями:

основу расчетно-экспериментального метода определения материальных функций модели составляет обработка экспериментальных кривых, не связанная с определением пределов текучести и других величин с какими-либо допусками на деформации, что обычно вносит неоднозначность в получаемые результаты. Аналитическое интегрирование уравнений неупругого поведения и накопления повреждений для простейших стационарных режимов нагружения приводит к известным критериям малоцикловой усталости и длительной прочности. Модель апробирована в различных программах экспериментальных исследований при сложном нагружении (эксперименты И. М. Коровина, В. П. Дегтярева, О. А. Шишмарева, Охаси и др.). Сравнительные исследования различных теорий пластичности, ползучести, неупругости показали, что результаты, полученные с помощью обобщенной модели неупругости, лучше всего соответствуют экспериментальным данным.

Аналитическое интегрирование матрицы жесткости К (см. 3.80)) достаточно трудоемко. Для того, чтобы эти операции поручить выполнять ЭВМ, следует воспользоваться квадратурными формулами численного интегрирования (Приложение 1).