Анизотропных кристаллов

Тот факт, что эффективные модули в уравнении (126) зависят только от характеристик матрицы (и пропорциональны им), не является необычным. В самом деле, для многих технически важных изотропных и анизотропных композитов такое представление является по крайней мере приблизительно верным. Мы обсудим причины такого поведения материала, так как оно играет важную роль при нахождении вязкоупругих решений и вычислении верхних и нижних границ эффективных модулей (все это будет показано в следующем пункте).

Характеристика прочности анизотропных композитов будет дана в соответствии с основными принципами феноменологического описания: (1) математическая модель, (2) эксперименты— определение и проведение необходимых физических измерений, (3) анализ полученных данных — статистическая корреляция результатов измерений.

Яркой иллюстрацией упомянутых здесь преимуществ метода математического моделирования является хорошо известная в. настоящее время линейная теория механического поведения анизотропных композитов. Например, для двумерного ортотроп-ного композита математическая модель (обобщенный закон Гу-ка) характеризует податливость тензором четвертого ранга, откуда следует, что измерение всего четырех независимых компонент (5ц, Sjz, S22, See) тензора податливости, соответствующих главным направлениям структуры материала, позволяет полностью определить шесть коэффициентов податливости (Sj,, S{2>. S'l6, S'22, Sj6, Sg6) для произвольных направлений. Таким образом, отпадает необходимость многочисленных измерений шести коэффициентов податливости с небольшим шагом изменения ориентации образца для установления закона преобразования этих коэффициентов. Отсюда следует также, что сравнение податливости различных композитов можно производить путем: сравнения главных податливостей, не прибегая к сравнению графиков или таблиц значений отдельных компонент 5ц в зависимости от ориентации осей координат (так и практикуется в настоящее время). Кроме этого, метод математического моделирования дал возможность исследовать поведение слоистых пластин (Рейсснер и Ставски [41]), заняться вопросами оптимизации (Уэддупс [50], Брандмайер [6]), сформулировать принципы рационального статистического анализа, максимально сократить, число экспериментов, облегчить выпуск необходимой документации и технические приложения (By с соавторами [57]). Все эти преимущества метода математического моделирования должны быть использованы в проблеме исследования разрушения анизотропных композитов, но при этом нужно отчетливо понимать следующее:

Поверхности прочности различных анизотропных композитов соответствуют многочисленным механизмам разрушения и могут иметь самые разнообразные размеры и форму, так что для описания таких поверхностей необходимо иметь достаточно гибкую математическую модель. Несмотря на то что форма поверхности прочности может быть достаточно сложной, по аналогии с выводами общей теории пластичности можно ожидать, что она будет выпуклой (Поль [38]), но даже при отсутствии выпуклости (Ашкенази [1]) для любой заданной траектории на-гружения условие разрушения, записываемое в виде некоторого уравнения, имеет только один корень. Например, две прямолинейные траектории, идущие вдоль коллинеарных лучей, пересекают, как показано на рис. 2,а, поверхность прочности не более чем в двух точках. Наличие единственного корня (рис. 2,6), означающее, что для некоторых траекторий нагружения материал обладает бесконечной прочностью, физически допустимо, но в инженерной практике встречается редко.

По этим причинам мы остановились на записи критерия через скалярные функции от компонент тензора напряжений — подходе, представляющемся нам наиболее перспективным. Скалярную функцию от компонент тензора можно образовать непосредственно в виде полинома. Впервые анизотропный критерий разрушения, записанный через тензорный полином (полином от компонент тензора деформаций), в неявном виде предложил Фойхт [48] примерно в 1890 г. для описания анизотропии прочностных свойств кристаллов. Современные работы с использованием аналогичных формулировок для анизотропных композитов принадлежат Ашкеиази [2], Гольденблату и Копнову [18] и другим авторам (Малмейстер {31], Богю [5], Цай и By [46]). В работе [46] приводится следующая формулировка критерия разрушения:

Для описания разрушения анизотропных композитов можно приспособить теорию Сен-Венана, в которой используются максимальные относительные удлинения. Следует отметить, что теория Сен-Венана даже в ее первоначальной формулировке плохо описывает текучесть изотропной среды и обычно не используется в практике проектирования металлических конструкций; критерий Сен-Венана дает удовлетворительные результаты только в случае очень хрупких материалов. То обстоятельство, что некоторые композиты с полимерной матрицей являются очень, хрупкими, приводит к возможности применения модифицированного критерия Сен-Венана к анизотропным композитам (Уэд-дупс [50]). Критерий Сен-Венана (критерий максимальной деформации) для изотропного материала можно записать через

Основной принцип установления феноменологического критерия разрушения анизотропных композитов состоит в выборе математической модели, достаточно общей для того, чтобы она позволяла описать поверхность прочности любой формы. Руководствуясь такой математической моделью, можно указать количество экспериментов, требуемых для полного (в рамках модели) определения прочностных свойств материала. Очевидно, минимально необходимое число независимых основных экспериментов равно числу сохраняемых компонент тензоров поверхности прочности; эти компоненты могут считаться характерными параметрами материала. Обращение в нуль компонент тензоров высших рангов, следующее из анализа результатов соответствующих экспериментов, позволяет установить наинизшую степень тензорного полинома, характеризующего прочностные свойства исследуемого композита.

Требование нормировки возникает по той причине, что различие в значениях пределов прочности для различных ориентации анизотропных композитов чрезвычайно велико, и это влечет за собой известный факт увеличения разброса пределов прочности с ростом абсолютной величины этих пределов. Другое следствие анизотропии прочностных свойств состоит в том, что поверхность прочности вытянута в направлении большей прочности материала. Таким образом, предлагаемый способ оптимизации не совпадает с общепринятой методикой, при которой минимизация осуществляется по направлению внешней нормали к поверхно-

Объединение различных критериев прочности анизотропных композитов в тензорно-полиномиальную формулировку дает возможность выбирать тот или иной критерий, руководствуясь желаемой точностью предсказания начала разрушения и устраняя тем самым возможный здесь произвол.

нения, необходимые для описания разрушения неоднородных анизотропных композитов.

ривать как параметр материала, используемый в расчетах и для контроля при эксплуатации композитных конструкций. Для анизотропных композитов необходимо дополнительное рассмотрение.

Напряжения второго рода характерны для поликристаллических тел, так как они возникают в результате взаимодействия кристаллов между собой. Отдельные зерна, из которых состоит металл, не только ориентированны по-разному, но и отличаются по строению (различные модификации металла, зерна различных составных частей металла, например включения графита, инородные включения). Напряжения второго рода являются следствием неоднородности физических свойств различных компонентов поликристалла, стесненных условий деформации отдельного зерна, а также анизотропии свойств внутри отдельного зерна. По характеру действия эти напряжения беспорядочно ориентированны в объеме металла, поскольку представляют собой результат взаимодействия множества анизотропных кристаллов.

Если при испытании стальных образцов, вырезанных из различных мест изделия, обнаруживается практическая идентичность диаграмм деформирования в упругой области и в начале пластической, то, безусловно, допустимо и следует анализировать и проектировать конструкцию из этой стали на основе предположения о ее однородности и изотропии или начальной изотропии. Сложная композиционная структура горячекатаной углеродистой конструкционной стали (состоит из выражение анизотропных кристаллов феррита и перлита с частицами цементита) может полностью игнорироваться в макроскопической упругой области и в начале пластической, и материал на этом уровне может рассматриваться как изотропный и однородный.

Критерий прочности, предложенный Р. Мизесом для анизотропных кристаллов и развитый впоследствии Р. Хиллом [49], пытались применить для расчета прочности композиционных ани-

Основной характеристикой радиационного роста анизотропных кристаллов служит безразмерная величина — так называемый коэффициент радиационного роста G. В случае а-урана коэффициент роста можно определить следующим образом [4]:

Таким образом, различие в определении коэффициентов радиационного роста урана и циркония не является принципиальным. Это обстоятельство оказывается важным при сравнении результатов экспериментов по радиационному росту указанных материалов. В общем случае коэффициент радиационного роста анизотропных кристаллов является сложной функцией условий облучения и зависит от свойств образца.

Если коэффициент радиационного роста на уровне отдельных зерен в поликристаллическом материале полагать известным, то легко заметить, что при таком подходе вопрос о радиационном росте поликристаллов сводится к расчету величины пластической деформации агрегата анизотропных кристаллов на основе деформации радиационного роста каждого из них. С помощью методов математической теории пластичности эта задача была решена в приближении вязкопластичного тела [20]. Показано, что радиационный рост поликристаллов подчиняется нелинейной зависимости от степени выраженности текстуры. На рис. 127 приведены расчетные зависимости индекса роста (0Пол^Кр) поликристалла от плотности распределения кристаллов преимущественной ориентировки, а также экспериментальные данные из работы [42].

ориентированных анизотропных кристаллов. В большинстве реальных случаев

Все металлы являются поликристаллами, поскольку они состоят из огромного количества анизотропных кристаллов. В связи с тем что кристаллы ориентированы по отношению друг к другу под незначительным углом (10-15'), тело металла имеет во всех направлениях более или менее одинаковые свойства (усредненные). Поликристаллическое тело изотропное, но эта изотропность мнимая, называемая квазиизотропией (по-латыни квази — мнимый). В результате обработки металлов давлением в холодном состоянии (прокатка, штамповка) изотропная структура может получить частичную анизотропию свойств из-за того, что часть кристаллов будет ориентирована в определенном направлении.

В окрестности винтовой дислокации, параллельной оси г (рис. 2.12), возникают лишь касательные напряжения аег = аг9 = 06/(2яг), а потенциальная энергия такого поля напряжений в расчете на единицу длины винтовой дислокации также имеет порядок Gbz. Указанные свойства дислокаций качественно справедливы и для анизотропных кристаллов, но количественные соотношения будут иными. Эти свойства будут зависеть от упругих характеристик анизотропных кристаллов (см. § 2.2) и от ориентации дислокаций относительно кристаллографических осей Рис. 2.13 [55].

Напряжения второго рода характерны для поликристаллических тел, так как они возникают в результате взаимодействия кристаллов между собой. Отдельные зерна, из которых состоит металл, не только ориентированны по-разному, но и отличаются по строению (различные модификации металла, зерна различных составных частей металла, например включения графита, инородные включения). Напряжения второго рода являются следствием неоднородности физических свойств различных компонентов поликристалла, стесненных условий деформации отдельного зерна, а также анизотропии свойств внутри отдельного зерна. По характеру действия эти напряжения беспорядочно ориентированны в объеме металла, поскольку представляют собой результат взаимодействия множества анизотропных кристаллов.