Аппроксимация зависимости

где УЗЗ), и'3', и%3) — нормальное и касательные безразмерные перемещения слоя заполнителя. Здесь и ниже под безразмерными следует понимать величины, отнесенные к размеру а (см. рис. 5.15). Коэффициенты «о. «!, ..., уа — искомые функции аргументов х, у; х, у, г — безразмерные координаты пластины, панели, оболочки. Выбранная аппроксимация перемещений (5.71) позволяет достаточно устойчиво осуществить предельный переход к тонким оболочкам и пластинкам.

где УЗЗ), и'3', и%3) — нормальное и касательные безразмерные перемещения слоя заполнителя. Здесь и ниже под безразмерными следует понимать величины, отнесенные к размеру а (см. рис. 5.15). Коэффициенты «о. «!, ..., уа — искомые функции аргументов х, у; х, у, г — безразмерные координаты пластины, панели, оболочки. Выбранная аппроксимация перемещений (5.71) позволяет достаточно устойчиво осуществить предельный переход к тонким оболочкам и пластинкам.

4. Аппроксимация перемещений конечного элемента

После введения указанных упрощений тело можно рассматривать как дискретную систему, т. е. как совокупность элементов, соединенных между собой в узловых точках. Разбиение конструкции на подобласти и выбор аппроксимирующих функций для каждой из них можно осуществить различными способами. При этом должны быть учтены особенности геометрии тела и обеспечена хорошая аппроксимация перемещений, деформаций и напряжений для всего тела в целом. В этом случае решение, полученное по методу конечных элементов, будет в пределе (при уменьшении размеров элементов) стремиться к точному. Более подробно вопрос о сходимости приближенного решения к точному будет рассмотрен в гл. 6.

Итак, в рассматриваемом подходе осуществляется поэлементная аппроксимация перемещений в плоскости поперечного сечения тела, а основными неизвестными являются функции, зависящие от третьей координаты (перемещения узловых линий). Задача сводится теперь к отысканию этих функций координаты г. Таким образом, мы приходим к конечноэлементной формулировке метода Канторовича-Власова.

Для решения плоской задачи теории упругости и для расчета трехмерных тел разработано много разнообразных конечных элементов. Основное различие между ними заключается в характере аппроксимации перемещений, а также в способе описания геометрии. Весьма плодотворным является нзопараметрический подход, в котором аппроксимация перемещений и геометрии осуществляется с помощью одних и тех же соотношений. Это позволяет построить одно-, дву- и трехмерные :конечные элементы произвольной конфигурации, в том числе криволинейные, обеспечивающие совместность конечиоэлементной модели.

Сопоставляя этот результат с точным, видим, что данный конечный элемент дает заниженное значение угла поворота, т. е. является слишком жестким. Источником чрезмерной жесткости конечного элемента при изгибе является деформация сдвига кху. В точном решении еху — О, а для конечного элемента используемая аппроксимация перемещений приводит к появлению деформаций сдвига еху = 6е?. Конечно, можно получить хорошее решение, если моделировать пластину несколькими элементами, но нас в данном случае интересует возможность удовлетворительного воспроизведения состояния изгиба с помощью одного элемента. В следующем параграфе будет рассмотрен несовместный элемент, удовлетворяющий этому требованию. Другой способ исключения «ложного» сдвига описан в § 6.6.

где параметры г, т]г определяются в соответствии с рис. 5. 10, б. Аппроксимация перемещений по формулам

выполняется аппроксимация перемещений. Дальнейшие выкладки вполне аналогичны тем, которые приведены выше для восышузлового элемента.

Аппроксимация перемещений выполняется по формулам "« = Sojv^p, иу = 2язриир, ыг = 2г)ригр.

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать «ложную» деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенное™ (h/R) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную «ложную» энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию «ложных» деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости.

Во многих случаях линейная аппроксимация зависимости М^(м) невозможна. Так, например, в случае разгона токарного станка асинхронным двигателем зависимость М^(ш) имеет вид, представленный на рис 4.15. В этом случае уравнение (4.37) можно решить графически или применить численное интегрирование на ЭВМ (см. § 3.4).

Во многих случаях линейная аппроксимация зависимости М?(а>) невозможна. Так, например, в случае разгона токарного станка асинхронным двигателем зависимость М2(о)) имеет вид, представленный на рис. 4.15. В этом случае уравнение (4.37) можно решить графически или применить численное интегрирование на ЭВМ (см. § 3.4).

Приближение функции /э = ai/Ц к экспериментальной зависимости /э (t/H) на интервале f/Hmin^i/H=^ ?/НШах оценивается с приемлемой точностью по способу средних [V-5]. Аппроксимация зависимости /э ((/„) для диода насыщения 4Д17П дает следующие значения

И наконец, третий диапазон начинается примерно с 1е> >40000 кДж/кг, когда эффективная энтальпия определяется прежде всего тепловым эффектом вдува. Указанная граница, конечно, условна, поскольку стабилизация доли испарения у различных марок стеклообразных материалов, отличающихся законом изменения вязкости или коэффициентом теплопроводности, может наступить как раньше, так и позже указанного значения энтальпии торможения. Важно отметить, что в указанном диапазоне наклон зависимости эффективной энтальпии от энтальпии торможения 1е полностью определяется тепловым эффектом вдува. Этот наклон остается постоянным до тех пор, пока справедлива линейная аппроксимация зависимости теплового потока от скорости испарения, и становится переменным, когда указанной аппроксимацией пользоваться нельзя (см. гл. 4). Очевидно, что значительного увеличения эффективности разрушения при столь высоких энтальпиях торможения можно добиться лишь за счет создания покрытий с очень малыми молекулярными массами образующихся газообразных компонент.

Рис. 4.3. Аппроксимация зависимости плотности теплового потока от времени

магистральных насосов. Аппроксимация зависимости jp"OM этих РЦН от коэффициента

Интегрирующий контур выполнен из трех групп последовательно включенных электрических ячеек сопротивлений и емкостей в соответствии со слоем термодеструкции, слоями А и Е. Для слоя термодеструкции используется нелинейная 7?С-сетка, в которой переменным является сопротивление. В основе нелинейного сопротивления ячейки лежит ступенчатая аппроксимация зависимости r=f(u), которая осуществляется группой последовательно соединенных переменных резисторов. Количество резисторов соответствует числу интервалов разбиения функции r=f(u). Изменение сопротивления ячейки осуществляется переключением контактных групп реле, срабатывающих в результате импульса от соответствующей управляющей ячейки. Каждая ячейка слц,я термодеструкцип снабжена пятью резисторами типа СП с номиаалами сопротивлений от 2,2 до 10 кОм и двумя емкостями типа ЭТО с номиналами 12 и 24 мкФ. Установка требуемого номинала емкости осуществляется переключателями. При разрядке емкости отключаются от узловых точек и закорачиваются.

Аппроксимация зависимости удельной производительности от расхода полиномом первой степени позволяет получить соотношение

Удовлетворительная аппроксимация зависимости еа (/• = = —1) = ф (еа (г)) имеет вид:

Рис. 2. Аппроксимация зависимости сил трения от скорости:

занная функция с кубическим членом введена как аппроксимация зависимости потерь давления от скорости потока вместо квадратичной для облегчения анализа процесса.