Аппроксимации диаграммы

Для численного определения коэффициентов влияния (значений функции влияния в заданных точках тел) используем МКЭ. Его разрешающее уравнение (4.43) при заданной единичной силе однозначно определяет перемещения любого узла (точки) рассматриваемого тела. При конкретном расчете тела фланцев разбивают, учитывая их осевую симметрию, на кольцевые элементы треугольного (реже четырехугольного) поперечного сечения с линейной аппроксимацией перемещений внутри элемента.

Реализация решений задач динамики с помощью МКЭ возможна на основе формулировки (3.34). Формальное отличие от рассматриваемого выше решения задачи статики [см. (3.941) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь третье слагаемое в (3.34). Воспользуемся аппроксимацией перемещений в пределах элемента, такой же как (3.96), тогда, выполнив интегрирование в пределах отдельного элемента, получим *

где [В] - матрица, определяемая аппроксимацией перемещений по объему выбранного конечного элемента [19]; {#} - вектор-столбец узловых перемещений, имеющий вид

Реализация решений задач динамики с помощью МКЭ возможна на основе формулировки (3.34). Формальное отличие от рассматриваемого выше решения задачи статики [см. (3.941) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь третье слагаемое в (3.34). Воспользуемся аппроксимацией перемещений в пределах элемента, такой же как (3.96), тогда, выполнив интегрирование в пределах отдельного элемента, получим *

Пластины и оболочки широко применяются в конструкциях летательных аппаратов. Большинство методов их расчета основывается на использовании гипотезы прямых нормалей. В методе конечных элементов такой подход наталкивается на серьезные трудности, связанные с необходимостью обеспечения совместности конечных элементов. Эти трудности можно обойти, если воспользоваться независимой аппроксимацией перемещений и углов поворота нормали. Благодаря этому удается построить семейства конечных элементов изопараметрического типа, пригодных для расчета иа изгиб пластин или моментных оболочек произвольной конфигурации.

Придерживаясь той же степени точности, что и для деформаций, воспользуемся здесь линейной аппроксимацией перемещений U{, un'.

Как отмечалось выше, для идеализации лонжерона могут быть использованы балочные элементы. В данном параграфе рассматриваются балочные элементы изопараметрического типа с независимой аппроксимацией перемещений и угла поворота сечения. В отличие от балочных элементов, описанных

Рассмотрим конечные элементы оболочки вращения (см. § 7.8) с независимой аппроксимацией перемещений срединной поверхности их, иу и угла поворота нормали Ф: их = 2,tyriixr; иу — 2фгиуг; ft = 2tv&r. Касательное к меридиану ы и нормальное и> перемещения произвольной точки на расстоянии ? от срединной поверхности выражаются через соответствующие перемещения срединной поверхности равенствами

Рассмотрим, далее, конечные элементы лонжерона, описанные в § 8.3 (см. рис. 8.3). Так же как и при выводе матрицы жесткости, вначале отнесем элемент к местной системе координат х, у и введем в каждом узловом сечении по три степени свободы Up = {и— и—ftp}. Пользуясь независимой аппроксимацией перемещений и-, и- и угла поворота •& сечения и пренебрегая инерцией вращения, можно получить согласованную матрицу масс т, определяемую соотношениями

Решение задач динамики с помощью метода Рэлея—Ритца (или МКЭ) возможно на основе формулировки (1.25). Формальное отличие от рассмотренного выше уравнения задачи статики (1.32) состоит в определении приведенных инерционных нагрузок системы. Для этого отдельно рассмотрим лишь последнее слагаемое в (1.25). Воспользуемся аппроксимацией перемещений такой же, как (1.27), тогда, выполнив интегрирование по объему, получим

Рис. 3.5. Варианты линейной аппроксимации диаграммы 0(е). Задаваясь F", получаем аппроксимацию с запасом.

Для оценки местных деформаций и напряжений в зонах концентрации при длительном статическом нагружении используются формулы для коэффициентов концентрации деформаций kle и напряжений /са, полученные в работе [2] для случая статического нагружения в упругопластической области. При степенной аппроксимации диаграммы длительного статического деформирования в форме уравнения (24) для номинальных упругих деформаций и напря-

при степенной аппроксимации диаграммы деформирования

при линейной аппроксимации диаграммы деформирования Ке = [F2(aH,a0, GT)]a2/GT + /23(GT , aH)/GT]1/2 -

Решению упругопластической задачи с помощью интерполяционного соотношения (2.130) соответствует точка пересечения кривой для п > 1 с диаграммой деформирования, например точка A t на пересечении кривых 5 и 2 (см. рис. 2.44). При степенной аппроксимации диаграммы деформирования а = ет уравнение (2.130) для нулевого полуцикла (k = 0) можно представить в виде:

С учетом соотношения (2.142) при степенной аппроксимации диаграммы деформирования, разрешающее уравнение для определения максимальных деформаций имеет вид

где Kg и Ке — коэффициенты концентрации напряжений и деформаций за пределами упругости в наиболее напряженной точке детали; ад — теоретический коэффициент концентрации напряжений; 5Н — номинальное напряжение в полуцикле деформирования; m - показатель упрочнения материала в упругопластической области при степенной аппроксимации диаграммы деформирования.

Аналогично из системы уравнений (7.10), (7.19), (7.20) и (7.22) с использованием (7.11), (7.13) получаются [9] значения коэффициентов концентрации Ке и К„ при линейной аппроксимации диаграммы деформирования с модулем упрочнения GT.

На рис. 5 (кривая 1) приведены результаты аппроксимации диаграммы деформирования образца из стали 22 К с использованием вышеизложенной теории (е — относительная деформация; ст — предел текучести). Там же показаны результаты, получающиеся при использовании степенной (кривая 2) и билинейной аппроксимации (кривая 3) в предположении, что экспериментальная кривая, совпадающая с 1, задана без погрешности. Исходная кривая деформирования и аппроксимации кривых 2 и 3 взяты из работы [4].

где aa — коэффициент концентрации напряжений в упругой области; an — относительное номинальное напряжение (an = = On/tf-r); п — постоянная, определяется из расчета или эксперимента для данных значений а,0 и ~ап; т — показатель упрочнения при степенной аппроксимации диаграммы деформирования.

при степенной аппроксимации диаграммы деформирования