Аппроксимации перемещений

-J Таблица 1.29. Одномерные распределения потенциала при аналитической аппроксимации нелинейных поляризационных кривых [98, 124]

Выражения, полученные с помощью формулы (1.75) и характеризующие распределение потенциала по поверхности ряда одномерных систем при типичных способах аппроксимации нелинейных поляризационных кривых, представлены в табл. 1.29.

При аппроксимации нелинейных зависимостей минимизируются суммы квадратов отклонений логарифмов этих функций.

25. МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕНЬЕВ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Существует большое число способов аппроксимации нелинейных функций кусочно-постоянными функциями [8], [42]. В качестве примеров можно привести некоторые часто встречающиеся способы аппроксимации.

При любом методе проведения оценки для принятого способа аппроксимации нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями в конечном итоге получаем зависимость е2 = йе^

Если силовое передаточное отношение самотормозящейся передачи зависит от скорости звеньев (см. п. 40), то нелинейную систему дифференциальных уравнений движения (42.6) можно приближенно решить, воспользовавшись методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейных зависимостей (см. п. 25 [34]). В случае, когда силовое передаточное отношение не зависит от скорости звеньев (или приближенно считается не зависящим от скорости), система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата имеет кусочно-постоянные матрицы С и вектор-функцию F (t, у). Очевидно, в последнем случае самотормозящаяся передача может работать или в тяговом режиме, или в режиме оттормажи-вания.

Воспользовавшись методом, изложенным в п. 25, выберем определенный метод аппроксимации нелинейных зависимостей согласно (25.6). Допустим, что условия аппроксимации (25.3), (25.4) выполнены:

39. В е и ц В. Л. Решение уравнения движения машинного агрегата, основанное на аппроксимации нелинейных зависимостей кусочно-постоянными функциями.—Механика машин, вып. 9—10. М., изд-во «Наука», 1967, с. 27—38.

25. Метод аппроксимации нелинейных характеристик звеньев кусочно-линейными функциями............... 147

Таким образом, матрица С содержит нелинейный элемент c2i, вектор-функция F (t, Y) — нелинейную компоненту F2 (t, у). Вследствие этого дифференциальное уравнение движения (12.7) является нелинейным общего вида. Учитывая сложность зависимости х21 (t/), решение уравнения (12.7) точными методами неосуществимо тем более, что зависимость силового"передаточного отношения от скорости обычно задается таблично. Полученные экспериментально такие функции не обладают достаточной гладкостью для существования классического решения системы дифференциальных уравнений движения. Следовательно, задача отыскания точного решения в этом случае не имеет смысла. Решение системы уравнений (12.7) осуществимо методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейных зависимостей, в том числе и в случае их табличного задания по экспериментальным данным [29]. Отыскание решения аппроксимирующей системы осуществляется методами, разработанными в гл. II, причем найденное таким образом решение Y (0» удовлетворяющее условиям аппроксимации

Рис. 10. Аномалии в окрестности точки приложения сосредоточенной нагрузки при использовании сложных элементов: штриховая линия — элемент с линейным законом аппроксимации перемещений; штрихпунк-тирная линия — элемент с квадратичным законом аппроксимации перемещений; сплошная линия — точное решение.

уравнении равновесия. Если для аппроксимации ускорений точек конструкции использовать те же функции формы, что и при аппроксимации перемещений, в общем случае вектор R может быть представлен следующим образом:

Рассмотрим другую трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках. Решение задачи проведем по следующей схеме. Выделим отдельные элементы и в узловых точках приложим силы реакций отброшенных частей. Для заданной аппроксимации перемещений в пределах элемента, используя принцип возможных перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связь сил реакций с перемещениями узлов элемента и внешними нагрузками, действующими на элемент. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алге* браических уравнений позволит определить неизвестные узловые

С использованием аппроксимации перемещений (4.63) для симметричных составляющих обобщенных перемещений запишем:

начального и конечного сечений; А — значение параметра а для второго сечения (см. рис. 4.11). Когда в качестве параметра а выбирается длина дуги меридиана s, А равняется L (см. рис. 4.9). После подстановки в уравнения (4.66) аппроксимации перемещений (4.63) получим линейную систему восьми уравнений относительно неопределенных коэффициентов cln — с8п. Решение этой системы позволяет выразить неопределенные коэффициенты через обобщенные узловые перемещения {<7„}:

Аппроксимации перемещений (4.220) с учетом (4.221) позволяют записать в пределах элемента распределение следующих кинематических характеристик:

Рассмотрим другую трактовку МКЭ, соответствующую методу перемещений при решении задач теории упругости. Будем считать, что элементы взаимодействуют между собой лишь в узловых точках. Решение задачи проведем по следующей схеме. Выделим отдельные элементы и в узловых точках приложим силы реакций отброшенных частей. Для заданной аппроксимации перемещений в пределах элемента, используя принцип возможных перемещений, получим уравнения равновесия элементов и определим связь сил реакций с перемещениями узлов элемента и внешними нагрузками, действующими на элемент. Далее соединим в узлах элементы и запишем условия равновесия отдельных узлов. Для этого приравняем нулю для каждого узла сумму сил реакций от отдельных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу. Полученная система алге* браических уравнений позволит определить неизвестные узловые

С использованием аппроксимации перемещений (4.63) для симметричных составляющих обобщенных перемещений запишем:

начального и конечного сечений; А — значение параметра а для второго сечения (см. рис. 4.11). Когда в качестве параметра а выбирается длина дуги меридиана s, А равняется L (см. рис. 4.9). После подстановки в уравнения (4.66) аппроксимации перемещений (4.63) получим линейную систему восьми уравнений относительно неопределенных коэффициентов cln — с8п. Решение этой системы позволяет выразить неопределенные коэффициенты через обобщенные узловые перемещения {<7„}:

Аппроксимации перемещений (4.220) с учетом (4.221) позволяют записать в пределах элемента распределение следующих кинематических характеристик:

Расчет произведен дважды. В первом варианте в качестве базисных функций при аппроксимации перемещений принимались одномерные полиномы Ла-гранжа второго порядка от координат и, v и первого порядка от координаты z. Второй вариант отличается от первого тем, что базисные функции от v строились на основе функций sin v и cos v. Результаты расчета в двух вариантах совпали с точностью до четырех значащих цифр.