Асимптотические разложения

Непосредственно не ясно, каким образом асимптотическая устойчивость, определяемая линейными уравнениями (15), связана с асимптотической устойчиво-

4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые1) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет

асимптотическая устойчивость

асимптотическая устойчивость

асимптотическая устойчивость

а) движение корней А[ и ?ь[ по А-плоскости; б) асимптотическая устойчивость; в) потеря

Действительно, его обычная устойчивость непосредственно следует из того, что при Ф ->• +со все решения сближаются между собой. Асимптотическая устойчивость в целом обеспечивается дополнительным предельным равенством (1. 37). Для предельных энергетических режимов R (tp), которые не являются решением уравнения (1. 35), первое требование, вообще говоря, не выполняется. Поэтому данное определение оправдано желанием не исключать из рассмотрения подобные режимы.

Поэтому функция Т=Т0 (ср) является абсолютно продолжаемым энергетическим режимом движения машинного агрегата; единственность и асимптотическая устойчивость этого режима вытекает из теоремы 1.6, условия которой выполнены.

Вторая теорема Ляпунова по исходным условиям отличается от первой тем, что в ней требуется, чтобы производная V была функцией знакоопределенной, противоположного знака с V, причем утверждается, что в этом случае имеет место асимптотическая устойчивость.

Асимптотическая (по Ляпунову) Асимптотическая устойчивость по вероятности Асимптотическая устойчивость по среднему Почти наверное асимптотическая устойчивость Почти однородная асимптотическая устойчивость Однородная асимптотическая устойчивость

а—устойчивость по Ляпунову; б — асимптотическая устойчивость; в — неустойчивость

Используя асимптотические разложения для модифицировап-иых функций Бесселя, можно получить при больших т следующее представление:

Приближенные теории, описывающие механическое поведение направленно армированных композитов, основаны на предположении о том, что отношение характерного размера структуры к характерному размеру неоднородности деформации много меньше единицы. В последние годы появились асимптотические методы исследования, с самого начала в явном виде использующие малость указанного отношения. Метод, использующий непосредственно асимптотические разложения, описан в работе [13]; предложенная там теория, по-видимому, применима в случае, когда композиционный материал работает как система волноводов.

В последующей статье Хегемира [32] были рассмотрены асимптотические разложения в задачах о распространении волн

где а — параметр в уравнении Вебера, а = 1/4 (у2 — -А2); А — значение /"(0), полученное из условия /(0)=0; Ui(a, TI — А) — решение уравнения Вебера, которое выражается через асимптотические разложения, через ою-лином Чебышева — Эрмита или функцию Уиттекера.

2. ап (у) и все ее производные имеют при г/^°о асимптотические разложения.

которое может быть легко проверено подстановкой в (15) (С] и С2 — постоянные). Соединение обеих формул осуществляется в точке # = уа<С1, где входящие в (19а) функции Ханкеля могут быть хорошо представлены через; их асимптотические разложения. Уравнения связи между постоянными имеют вид

2. Васильева А. Б,, Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., «Наука», 1973. 272 с.

Используя асимптотические разложения для модифицированных функций Бесселя, можно получить при больших т следующее представление:

Пп,ч\чн'М асимптотические разложения данных • выражений i.'i'.i Гюлыних и .малых 5. При 5->оо, что соответствует ма--'iiiii продолжительности действия силы, имеем

144. Поиятовскнй В. В. Асимптотические разложения в линейной теории плоских' стержней//Проблемы механики деформированного тела. Л.: Судостроение, 1970. — С. 341—351.

19. Эрдейи А. Асимптотические разложения: Пер. с англ. — М.: Физматгиэ. 1962. — 128 с.

При решении дисперсионного уравнения (4.29) используем в качестве наводящих соображений результаты квазиклассического рассмотрения. Как было показано выше, приближенное решение дисперсионного уравнения при v <^ 1 имеет вид р = = 1 + \ръ где рх < 0, причем пространственное распределение поля естественным образом описывается с помощью безразмерной координаты \ = (г — r0)/vr0. Поэтому рх и % целесообразно ввести в решение волнового уравнения (4.27) и использовать далее при р ж 1 асимптотические разложения Лангера для цилиндрических функций [31: