Асимптотическими формулами

Асимптотические выражения перемещений:

Запишем асимптотические выражения для напряжений и смещений в окрестности конца неподвижного разреза на его продолжении (6 = 0 для ay и 6 = я для v):

Соотношения (2.16), (2.17) и (2.18) представляют собой асимптотические выражения нолей напряжений и деформаций в окрестности копчика трещины для первого вида деформаций, связанного с отрывным смещением.

Рассмотрим плоскую задачу о трещине. Выделим часть тела воображаемым сечением (которое может быть ломаным) таким образом, чтобы это сечение проходило через конец трещины. Далее запишем условия равновесия внешних и внутренних сил, действующих на оставшуюся часть тела. При составлении этих условий учтем асимптотические выражения для напряжений (2.17) или (3.5).

Можно показать, что при v -*• 0 получаются статические асимптотические выражения (2.17), (2.18).

Аналогично изложенному, для динамических моделей вида (16.15) с направленными звеньями можно получить следующие асимптотические выражения для собственных значений и форм при варьировании параметров модели:

Чтобы оценить константы а и & в уравнениях (6а) и (66), величины Вп и рп для 1<и<7 были взяты из табл. 3 работы [2], а для и > 7 использовались асимптотические выражения из той же работы

При у—>~0 функции Л и В переходят в конечные значения Л0 и Во. Из (9-126) и (9-127) получаются асимптотические выражения

Идея метода заключается в использовании при высоких частотах свойств малой зависимости спектров упругих колебаний от краевых условий и концепции динамического краевого эффекта. Полагают, что для внутренней области справедливо порождающее решение типа (5), вообще говоря, не удовлетворяющее краевым условиям. На это порождающее решение накладывают у каждого края корректирующие решения, которые убывают при удалении от края во внутреннюю область и позволяют удовлетворить всем краевым условиям. Полученные решения для двух противоположных краев стыкуются. Процедура стыковки позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих порождающее (внутреннее) решение и динамические краевые эффекты, а затем получить асимптотические выражения для частот.

Предположим, что выполняются следующие условия: плотность собственных частот достаточно высока; для частот <% и форм колебаний <ра (х) могут быть взяты асимптотические выражения (см. гл. IX); соа, фа (х), са(х) и спектральные плотности обобщенных сил могут быть представлены в виде функций волнового вектора k; перечисленные функции мало изменяются на расстояниях, сопоставимых с размером одной ячейки в пространстве волновых чисел. Тогда, пренебрегая взаимной корреля-

Асимптотические выражения перемещений

ных свойств материала. Распределение напряжений и смещений в этой области отличается от упругого распределения. В схеме квазихрупкого разрушения принимается, что область нелинейных эффектов мала сравнительно с длиной трещины. Это позволяет считать, что размер этой области и интенсивность пластических деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интенсивности К и пределом текучести ао,2. Эта область мала настолько, что поле напряжений вокруг нее все еще описывается асимптотическими формулами.

В действительности для большинства реальных материалов в малой области конца разреза из-за больших напряжений возникает зона проявления нелинейных свойств материала, в которой распределения напряжений и смещений отличаются от упругого. В схеме квазихрупкого разрушения (Орован, Ирвин) принимается, что зона нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины. Это позволяет считать, что и размер данной зоны, и интенсивность пластических деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интенсивности напряжений, пределом текучести и коэффициентом упрочнения, а поле напряжений вокруг пластической области описывается асимптотическими формулами.

Перед концом трещины для большинства реальных материалов возникает более или менее развитая пластическая зона, причем даже если протяженность этой области будет доходить до 20% длины трещины, то поле напряжений вокруг пластической зоны все еще определяется асимптотическими формулами. Поэтому и размер пластической области, и интенсивность пластических деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интенсивности напряжений К и свойствами материала. Надо только оговорить, что для справедливости положений линейной механики развития трещин при вычислении коэффициента К следует искусственно (фиктивно) увеличить длину (или полудлину) трещины на половину длины пластической зоны. Эта процедура носит название пластической поправки Ирвина [1241.

Для правильного экспериментального определения Кс (или Gc) необходимо, чтобы пластическая деформация не была чрезмерной. Так, при сквозной пластической деформации по всей толщине, пластически деформированный объем в вершине трещины оказывается настолько велик, что уже нельзя пользоваться асимптотическими формулами. На основании экспериментальных проверок было ориентировочно установлено, что допустимая пластическая деформация в вершине трещины имеет место, если разрушающее напряжение в нетто-сечении образца не превосходит 0,8 предела текучести материала, определенного на гладких образцах. Критическая длина трещины, используемая для подсчета Кс, в этом случае будет равна но экспериментально определенному значению, а несколько большему — на упомянутую выше величину rv. Для приемлемой точности определения значения Кс длина пластической зоны не должна превышать 20% полудлины трещины, иначе вне этой зоны нельзя пользоваться асимптотическими формулами линейной механики разрушения.

Наиболее существенные результаты в динамической механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории, в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряжений вокруг пластической области описывается асимптотическими формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле напряжений сингулярно, и главный член его разложения по степеням расстояния от конца трещины г, как и в статике, имеет вид K/1/r. Угловое же распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме того, исследования показывают, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, иногда значительно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной).

Будем полагать, что сечения сопряжения оболочек находятся на достаточном удалении от вершины оболочки. Тогда для определения перемещений б;у- и А(-р воспользуемся асимптотическими формулами В. В. Новожилова, которые для общего случая осе-симметричной деформации длинной оболочки вращения запишутся в виде

Вместе с тем, если рассматривать напряженную зону вне малой окрестности вершины трещины (диаметром более 10 диаметров зерна для более уверенного применения модели однородного континуума), то на основании решений задач теории упругости оказывается, что компоненты напряжений ац представлены так называемыми асимптотическими формулами в виде

В упругом теле с трещиной напряженно-деформированное состояние определяют обычным для теории упругости образом (аналитически или численно). При этом вершина трещины (или ее кромка-фронт в пространственной, постановке) оказывается особой точкой - напряжения при приближении к вершине неограниченно растут. На малых, сравнительно с длиной трещины, расстояниях в окрестности вершины трещины напряженно-деформированное состояние описывается известными асимптотическими формулами. Область справедливости этих формул при -к< в < ж ориентировочно такова: 10/j
напряжений у вершины эффективной трещины (с новой длиной), описывается асимптотическими формулами упругости.

Напряженное состояние в окрестности конца разреза. .В упругонапряженном теле с трещиной напряженно-деформированное состояние определяют обычным для теории упругости образом (аналитически или численно). При этом вершина трещины (или ее кромка-фронт в пространственной постановке) оказывается особой точкой - напряжения при приближении к вершине неограниченно растут. На малых, сравнительно с длиной трещины, расстояниях в окрестности вершины трещины напряженно-деформированное состояние описывается асимптотическими формулами, которые здесь приведены без вывода для всех трех типов трещин порознь. Область справедливости этих формул при -эг<в<тс; 10ркг<0,1/ (р - радиус кривизны закругленной из-за деформации вершины трещины; / -полудлина трещины) (рис. 3.3.5). Пластическое деформирование во внимание не принято.

В действительности для большинства реальных материалов в малой области конца разреза из-за больших напряжений возникает ;юна проявления нелинейных свойств материала, в которой распределения напряжений и смещений отличаются от упругого. В схеме квазихрупкого разрушения (Орован, Ирвин) принимается, что зона нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины. Это позволяет считать, что и размер данной зоны, и интенсивность пластических деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интенсивности напряжений, пределом текучести и коэффициентом упрочнения, а поле напряжений вокруг пластической области описывается асимптотическими формулами.