Асимптотически стремятся

Итак, в случае а =?=• О все фазовые траектории асимптотически приближаются к устойчивому состоянию равновесия, а фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 3.17. Таким образом, при наличии сил сопротивления воздуха планер при любых начальных условиях приходит к единственному устойчивому равновесному режиму. Если начальная скорость планера достаточно велика, то планер совершит сначала одну или несколько мертвых петель, затем по волнообразно затухающей траектории будет приближаться к траектории прямолинейного полета. Одна из возможных траекторий полета планера показана на рис. 3.18.

равновесия. В динамической системе с глобально устойчивым состоянием равновесия все фазовые точки без исключения к нему приближаются. В случае глобально устойчивого периодического движения это не совсем так. Поясняющие примеры приведены на рис. 7.20. На одном из них исключение составляет фазовая кривая, уходящая в бесконечность, на другом седловая особая точка и две асимптотические к ней фазовые кривые. Подчеркнем, что эта особенность определяется топологией фазового пространства. Так, уже в цилиндрическом трехмерном фазовом пространстве возможно глобально устойчивое периодическое движение, к которому асимптотически приближаются все без исключения фазовые траектории.

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое

Может показаться, что если кольцо G преобразуется строго внутрь себя, так что область G переходит в G, то внутри кольца существует замкнутый контур Y. преобразующийся в себя (рис. 7.47). В действительности это не всегда так. Однако можно указать довольно общие условия, при которых это имеет место *). При выполнении этих условий все точки кольца в результате повторения преобразования асимптотически приближаются к кривой у. Кривая у преобразуется сама в себя, так что на ней

из седлового периодического движения, отвечающего сед-ловой неподвижной точке, и нескольких двоякоасимптоти-ческих к нему движений, соответствующих точкам пересечения инвариантных кривых. При достаточно малых добавках v/ и vg эта гомоклиническая структура поглощающая, поскольку при v = 0 все фазовые траектории асимптотически приближаются к образуемой инвариантными кривыми восьмерке (рис. 7.74). Напомним, что ц предполагается отрицательным. Окрестность, в которую все близкие траектории входят на рис. 7.74, отмечена штриховкой. Структура этой окрестности очень сложна. В малой окрестности гомоклинической структуры все движения сед-ловые и имеют полное описание с помощью последовательностей символов. Однако малая окрестность гомоклинической структуры является лишь частью окрестности, заштрихованной на рис. 7.74.

Вспомогательное отображение L двузначно и область т, показанную на рис. 7.128, преобразует в некоторую окрестность т точки с координатами (ы0, УО), если точки М и N имеют координаты (О, v0) и (и0, 0) соответственно. Вспомогательное отображение Т" преобразует область G в область С„, примыкающую к началу координат. При этом окрестность Т преобразуется в зависимости от числа п в области \п (рис. 7.129). В зависимости от величины о последовательности этих областей vra для возрастающих целых чисел п^ п* уменьшаются и асимптотически приближаются к началу координат по-разному, как это показано на рис. 7.130.

риалу с шестью направлениями армирования. Исходя из данных рис. 3.14 и того, что коэффициент армирования материала снижается с увеличением п, можно допустить, что значения упругих характеристик равновесного пространственно-армированного прямыми волокнами материала при п > 6 асимптотически приближаются к значениям упругих констант изотропного хаотически армированного материала. Коэффициент армирования последнего зависит от уплотнения волокон и в пределе может достичь значения 0,25—0,35.

Из рассмотрения рис. 2-13 следует, что безразмерная температура убывает тем сильнее, чем больше множитель т. При х—>~оо все кривые асимптотически приближаются к 6=0.

Используемое здесь значение ?ext — то же, что и для бесконечной системы волокон с квадратной упаковкой. На графике показаны также значения, определенные из кривых работы [7], в которой представлено решение задачи теории упругости для одно-и трехрядного композита. Видно, что приближенные результаты хорошо согласуются с результатами точного решения. Кривая, отмеченная надписью «эффективный модуль», построена при помощи вычисления, основанного на обычном подходе, т. е. на предположении однородного анизотропного тела, характеризуемого эффективными модулями композита. Приближенные результаты быстро сходятся к этой величине для умеренных значений N и асимптотически приближаются к ней при больших N, поскольку

излучения металлическим покрытием) до момента достижения предельной толщины, после чего будет обнаружено только постоянное минимальное фоновое излучение от металлического покрытия. В обоих методах предельная толщина, которая может быть измерена, зависит от атомного числа металла покрытия, а кривые зависимости интенсивности от толщины асимптотически приближаются к оси толщины покрытия. Калибровка должна быть выполнена с использованием эталонов известной толщины с тем же сочетанием покрытия и основного материала, что и в испытываемом материале.

4. В зарезонансной зоне, т. е. справа от максимума кривой ц,, с увеличением а происходит уменьшение величины л — кривые [а асимптотически приближаются к оси абсцисс. Таким образом, если вынужденные колебания происходят с частотой, превышающей частоту свободных колебаний на достаточно большую величину, то амплитуды оказываются меньше, чем при статическом действии амплитудного значения возмущающей силы; при достаточно большом отношении сй/шс, т. е. при большой частоте вынуждающей силы и вынужденных колебаний, амплитуды оказываются очень малыми.

d$/dt, > 0 и области неустойчивости, в которой dfy/dt, < 0. Легко показать, что в области неустойчивости все интегральные кривые при больших ? асимптотически стремятся к кривой Дж. Р. Ирвина (линия 3)

для 012 и G13). При увеличении жесткости волокон во всех трех направлениях модули сдвига асимптотически стремятся к своим наибольшим значениям. Для первой слоистой модели (в условиях объемного напряженного состояния} асимптотами служат прямые 3 и 4, проведенные на высоте ординаты, рассчитанной по второй слоистой модели. Для третьей модели — сведению к однонаправленно-армированной среде — асимптотами являются прямые 3' и 4', рассчитанные при непосредственном вырождении формул согласно упрощенным зависимостям для Gij no табл. 5.2. В целом увеличение жесткости армирующих волокон способствует некоторому сближению расчетных значений модулей упругости и сдвига по всем рассмотренным приближенным моделям. Влияние несжимаемости связующего. При анализе деформативных харак-

для 012 и G13). При увеличении жесткости волокон во всех трех направлениях модули сдвига асимптотически стремятся к своим наибольшим значениям. Для первой слоистой модели (в условиях объемного напряженного состояния} асимптотами служат прямые 3 и 4, проведенные на высоте ординаты, рассчитанной по второй слоистой модели. Для третьей модели — сведению к однонаправленно-армированной среде — асимптотами являются прямые 3' и 4', рассчитанные при непосредственном вырождении формул согласно упрощенным зависимостям для Gij no табл. 5.2. В целом увеличение жесткости армирующих волокон способствует некоторому сближению расчетных значений модулей упругости и сдвига по всем рассмотренным приближенным моделям. Влияние несжимаемости связующего. При анализе деформативных харак-

С увеличением частоты амплитудпо- и фазо-частотные характеристики обоих интеграторов асимптотически стремятся к частотным характеристикам идеальных интеграторов. Параметры первого и второго интеграторов выбраны так, чтобы на частоте сов

Аналогично примеру I выписываются реакции для каждого члена полиномов А?(х). В итоге получается система уравнений типа (1.6), удовлетворяющая условиям (1.6 а, Ь, с. d). Эта система зависит от параметра а = 1/е. При а -»- оо решения этой системы для переменных tit асимптотически стремятся к решениям исходной системы (2.11).

Исследование отклонений осуществляемой функции от необходимой при jV>jVmin (где /Vmin— минимальное значение коэффициента N, при котором коэффициент Ndi положителен) показало, что они несколько уменьшаются при увеличении N и асимптотически стремятся к минимальным значениям при jV=oo ню [5]. Практически такое прибли-

При ф < 0,25 процесс апериодически затухает, причем С асимптотически приближается к прямой, параллельной оси т и отстоящей на величину г от нее, а ч\ и ? асимптотически стремятся

параметр. Соответствующие графики приведены на рис. 4.28. Очевидно, что погрешность е(Р) может изменяться в широких пределах, причем ее значения минимальны для углов, близких к 0 и к 90°, и асимптотически стремятся к бесконечности при С, —> С,0, т.е. при р —> 0.

Видно, что с ростом толщины образца вязкость разрушения Gc и Кс асимптотически стремятся к вязкости разрушения в условиях максимального стеснения пластических деформаций G1C и Кк. Это обстоятельство ограничивает снизу толщину образца для получения достоверного значения К,с в эксперименте. При этом согласно ГОСТ

dfy/dt, > 0 и области неустойчивости, в которой d$/dt, < 0. Легко показать, что в области неустойчивости все интегральные кривые при больших t, асимптотически стремятся к кривой Дж. Р. Ирвина (линия 3)

Предположим, что векторное уравнение (5.2) соответствует линейной однородной системе, а параметрическое воздействие у (t) представляет собой n-мерный стационарный гауссовский процесс. В ряде работ по стохастической устойчивости показано, что для линейных систем при стационарном гауссовском возбуждении устойчивость с вероятностью единица полностью определяется асимптотическими свойствами вторых моментов вектора х [хг, д;2) ..., хп\, т. е. устойчивость почти наверное обеспечивается, если математическое ожидание вектора х и моментные функции второго порядка асимптотически стремятся к нулю [12, 28].

Тогда при произвольном х0 ? D реализации процесса х (t; х0, t0) асимптотически стремятся к нулю с вероятностью единица, а решение линейной системы (5.2) асимптотически устойчиво по Ляпунову с вероятностью единица.