Асимптотически устойчиво

Положение равновесия аа/ называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, существует такая /^-окрестность точки <т/ = <7/, q, = 0 (/ = 1 , . . . , п), что для всех Oj0 — — q] < Д, ! q/ (0) < А выполняются условия

где Kk — корни характеристического уравнения (16), сразу следует, что для того чтобы положение равновесия системы, которая описывается уравнениями (15), было асимптотически устойчивым, надо, чтобы все действительные ЯА были отрицательны, а все комплексно сопряженные К/, имели отрицательные действительные части

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче: задано характеристическое уравнение (16); требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) Гурвица2). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-цевыми.

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить

где р (х (t), х*) — расстояние между фазовыми точками с координатами х (t) и х*. Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если в дополнение к сказанному величина р стремится к нулю при неограниченном возрастании времени. Характер особой точки определяется характером поведения фазовых траекторий в ее малой окрестности. Рассмотрим фазовый портрет в окрестности состояния равновесия на примере динамической системы, которая описывается тремя дифференциальными уравнениями:

Движение механизма называется асимптотически устойчивым, если при /->• оо величины г/с< стремятся к нулю, и неустойчивым, если хотя бы одна из величин t/c; неограниченно возрастает. Если величины t/Ci стремятся к некоторым конечным значениям, то движение механизма называется нейтрально устойчивым.

Невозмущенное состояние называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, все возмущения при t > U удовлетворяют условию .

новившиеся незатухающие колебания, то проверяемое положение равновесия системы устойчиво; если колебания оказываются затухающими или если колебания вовсе не возникают и система возвращается в исходное положение, то последнее является асимптотически устойчивым. Равновесие системы неустойчиво, если хотя бы одно какое-то достаточно малое возмущение вызывает движение, уводящее систему от невозмущенного состояния.

Уравнению (17.170) соответствует спираль (рис. 17.64). Начало координат в данном случае является, как уже отмечалось, устойчивым фокусом. Движение системы — затухающие колебания, — является асимптотически устойчивым. Система, получившая возмущение, вследствие которого и возникли собственные колебания, характеризуется точкой внутри окружности радиуса 8 и лежащей в фазовой плоскости на спирали, перемещаясь по которой она все время будет оставаться внутри окружности радиусом е. Эта точка движется по спирали со скоростью

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2,д) или затухающие колебания (рис. 18.2,в), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво.

как линейная комбинация 2k экспонент е s , В случае, когда вещественные части всех корней отрицательны, решение является убывающим и невозмущенное равновесие — асимптотически устойчивым. Соответствующее нулевому корню частное решение представляет собой постоянную величину, и если вещественные части других корней отрицательны, то равновесие будет безразличным, т. е. неасимптотически устойчивым. Неустойчивость возникает при условии, что среди корней окажется хотя бы один, вещественная часть которого положительна. Частное решение е s , отвечающее такому корню, неограничено, что означает возможность неограниченного отклонения системы от невозмущенного равновесия.

мой уравнениями (10), асимптотически устойчиво. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (16) имеет положительную действительную часть, то положение равновесия, определяемое системой (10), неустойчиво,

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво.

Первая теорема. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов выше первого порядка малости (членов, составляющих XI (i = 1, ..., s)).

асимптотически устойчиво. Ход рассуждений, подтверждающий сказанное, аналогичен предыдущему случаю.

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства: а) проверяемое положение равновесия устойчиво; б) проверяемое положение равновесия неустойчиво; в) проверяемое положение равновесия асимптотически

Рис. 18.3. Интерпретация по Ляпунрву устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании пространства состояний и фазового пространства: г, е) проверяемое положение равновесия неустойчиво; д) проверяемое положение равновесия асимптотически устойчиво.

решение Тп (<р) асимптотически устойчиво при <р -> + со в целом.

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

Найденное единственное периодическое движение должно быть устойчивым. В противном случае для достаточно большого скачка нагрузки мы пришли бы к неограниченно возрастающим „амплитудам" независимо от величины г. Устремляя г к нулю, мы придем к противоречию, так как в указанной области равновесие линейной системы асимптотически устойчиво.*

Если не принимать во внимание вязкое сопротивление демпферов, то при значениях Аф от 10 до 10е тс-м/рад, движение асимптотически устойчиво в некотором Диапазоне скоростей. Для груженого полувагона и номинальных значений жесткостеи k и 6j пружинных комплектов наибольшее значение критической скорости VKp =

(не заштрихована) и автоколебаний (заштрихована) в плоскости параметров V, W при р = 1600 тс. При W = 0 движение асимптотически устойчиво до V = 64 м/с (231 км/ч). На рис. 10 приведены фазовые траектории z/t = / (yt), соответствующие точке К на рис. 9. Сплошной линией изображена фазовая траектория, полученная при