Асимптотически устойчивого

Движение асимптотически устойчивое 85

Движение асимптотически устойчивое 181

Итак, добавление диссипативных сил к консервативным не изменяет значения р* = р\ критической нагрузки, но превращает устойчивое равновесие при р < р* в асимптотически устойчивое, а неустойчивое равновесие при р = р* — в неасимптотически устойчивое. В этом проявляется стабилизирующее влияние диссипативных сил на систему, находящуюся под действием консервативной нагрузки.

3. Н. Н. Лузин показал, что в общем случае любого криволинейного профиля существует, и притом единственное, решение и= =щ (s) уравнения движения поезда (2. 48), определенное на всей числовой прямой Е!=( — оо, +со) и асимптотически устойчивое при s ->• +оо. Его и называют установившимся режимом движения поезда. Скорость установившегося режима движения поезда, рассматриваемая как функция расстояния, равна v0 (s) — \ju0 (s).

Равновесие асимптотически устойчивое

Решение асимптотически устойчивое в среднем кваиратическом 302

— — асимптотически устойчивое по

— — асимптотически устойчивое по

[см. условие (51) и уравнение (54)], имеют отрицательные вещественные части, при достаточно малых ц отвечает единственное аналитическое относительно \i асимптотически устойчивое решение исходного уравнения с периодом Т = 2я/ш, обращающееся при ц = 0 в порождающее решение х0 (/). Это решение можно искать в виде ряда (42).

Для получения точного решения система (4) — (5) не проще исходного уравнения (1). Однако при учете основного предположения о характере функций X и i) указанную систему можно решать приближенно следующим образом. Вначале решаем уравнение (5), причем величины X, X и t, изменение которых за период быстрого движения 2л/ю относительно мало, в процессе решения считаем постоянными («замороженными-»). Предположим, что эго уравнение действительно допускает при постоянных X, X и /из рассматриваемой области изменения этих величин быстро устанавливающееся асимптотически устойчивое 2л-периодическое по т = a>t решение, удовлетворяющее условию (3). Обычно указанное предположение, которое может быть смягчено, выполняется; заметим, что уравнение (5) таково, что необходимое условие существования указанного решения выполняется автоматически. Подставив найденное решение ty (X, X, t, (at) в правую часть уравнения (4), придем к уравнению типа (7) для медленной составляющей X, которое теперь будет приближенным.

Движение асимптотически устойчивое в целом 458

Положение равновесия асимптотически устойчивое 458

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобщенных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени.

Что касается общего решения однородной системы q*, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени /. В связи с этим движение q(t) стремится в пределе к движению q** (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы Q1 (t). Движения q*, которые бы возникали при отсутствии такой вынуждающей силы, называются свободными. Если этими движе-

в положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Ak, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении

внешней периодической силы в ряд; в указанном случае \ Wy (kiQ) \ ограничен, а А и все Ak стремятся к нулю, если внешнее периодическое воздействие по модулю стремится к нулю. В силу этого вынужденное движение остается в сколь угодно малой окрестности исследуемого положения асимптотически устойчивого равновесия, если внешнее воздействие по модулю достаточно мало. Именно это обстоятельство дает возможность изучать действие внешней силы на систему в линейном приближении— если амплитуда внешнего воздействия достаточно мала, то результирующее движение не выходит за пределы малой окрестности положения равновесия, в котором движение с достаточной точностью может быть описано линейными дифференциальными уравнениями.

Если областью притяжения асимптотически устойчивого дви* жения является все фазовое пространство, то это движение устойчиво в целом.

Рис. 18.2. Интерпретация по Ляпунову устойчивости положения равновесия системы на примере системы с одной степенью свободы при использовании фазового пространства. «Параллелепипед» с ребрами 26i и 26, (6-параллелешшед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность 5 и j при t = 0 — отмечено крестиком). «Параллелепипед» с ребрами 2ei и 2вг (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения: 1 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория — замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда); 2—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит за пределы е-параллелепипеда); 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Предыдущие результаты в сочетании с методом инерциальной кривой позволили решить задачу об исследовании и распределении инерционных сил в машинных агрегатах между перманентным и начальным движениями в смысле Н. Е. Жуковского [7]. Доказано, что предельным законом этого распределения служит характеристический критерий первого рода [8 ] асимптотически устойчивого предельного режима движения машинного агрегата. Исследованы законы распределения инерционных сил в наиболее важных для практики режимах движения и предложены достаточно эффективные методы их нахождения с любой степенью точности. Полученные результаты позволяют усовершенствовать динамические расчеты машинных агрегатов путем учета не только инерционных сил перманентного движения, но и сил, вызванных неравномерностью их движения в любом положении главного вала.

интегрируется в квадратурах лишь в редких случаях. Поэтому задача о фактическом отыскании асимптотически устойчивого предельного режима движения машинного агрегата и исследование его движения под действием заданных сил принадлежит к числу труднейших проблем динамики машин. При этом наибольшую прикладную и теоретическую ценность представляет изучение условий возникновения и отыскание периодических предельных режимов.

§ 7. Отыскание асимптотически устойчивого предельного режима в общем случае

1. Переходя к вопросу об отыскании произвольного асимптотически устойчивого предельного режима движения машинного агрегата [39], будем предполагать, что приведенный момент всех действующих сил удовлетворяет условиям 1.1*, 1.2*, 1.3**. Как уже отмечалось (п. 2 § 2, гл I), условие 1.3**

На основании теоремы 2. 9 приходим к выводу о том, что функция R (у), <р ?EX служит асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. По теореме 1.6 в условиях 1.1*, 1.2*, 1.3** другого асимптотически устойчивого предельного режима, определенного в промежутке Ех=( — со, -f-co), машинный агрегат иметь не может. Следовательно,