Асимптотическое поведение

1. Общие понятия об устойчивости (216). 2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению (219). 3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения (221). 4. Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры (225). 5. Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова (230). § 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия (в линейном приближении)........... 236

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при /-VGO. Между тем интуитивно ясно, что даже в простейшем случае, показанном на рис. VI. 1, устойчивость может сопровождаться (например, если учесть наличие сил сопротивления) или не сопровождаться (например, когда нет иных сил, кроме веса) асимптотическим стремлением к равновесию. Чтобы учесть это различие, вводится понятие об асимптотической устойчивости.

а область Л, о которой идет речь в определении асимптотической устойчивости, от к не зависит. Поэтому для каждого значения е существует некоторая область 8* (е), являющаяся пересечением областей б (е) и А. Движения, начавшиеся в б* -окрестности начала координат, не только не выходят за пределы в-окрест-ности, но и стремятся к началу координат при t-*-oo.

2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения *), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса о том, устойчиво ли равновесие в том случае, когда характеристическое уравнение (16) линейного приближения (15) наряду с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответствуют точки, расположенные на самой мнимой оси). Такие случаи называются особыми. В особых случаях равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и вопрос об исследовании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (15) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения. Из различных критериев, дающих решение задачи Гур-вица, мы приведем здесь только сам критерий Гурвица и графический критерий (часто более удобный для практического использования), предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.

При доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости консервативной системы и только что доказанной теоремы об асимптотической устойчивости диссипативной системы мы нигде не использовали того факта, что функция Е имеет смысл механической энергии системы. При доказательстве теоремы Лагранжа были использованы лишь следующие три свойства функции Е:

Как уже указывалось, общее решение однородного уравнения есть сумма слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения. Если в этом решении какое-нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной величине, то возрастает по абсолютной величине и вся сумма в целом. Принимая во внимание значения показателей степени в слагаемых (10.10) и (10.11), получаем, что присутствия одного положительного вещественного корня г;- или одной пары сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью а/;>0 оказывается достаточным, чтобы значения ус неограниченно возрастали. Следовательно, для асимптотической устойчивости движения звеньев механизма необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

Уравнения (13.15) и (13.16) отличаются знаком члена, содержащего z. Если эти уравнения считать уравнениями возмущенного движения, то по знакам коэффициентов их характеристических уравнений можно судить об устойчивости движения. При возрастающей характеристике силы трения все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Этого признака (см. § 10) достаточно для установления асимптотической устойчивости систем, движение которых описывается уравнениями не выше второго порядка. При падающей характеристике возможно получение неустойчивых режимов, так как в характеристическом уравнении имеется отрицательный коэффициент. Такое же заключение можно сделать, решая уравнения (13.15) и (13.16). Для этого введем 'безразмерное перемещение y — z/zc. Тогда уравнение (13.15) принимает вид

Если в общем решении уравнения (9.77) какое-нибудь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной величине, то неограниченно возрастает по абсолютной величине и вся сумма в целом. Отсюда следует, что присутствия одного положительного вещественного корня он или одной пары сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью ctk > 0 оказывается достаточным, чтобы величина //с неограниченно возрастала. Следовательно, для асимптотической устойчивости движения звеньев механизма необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

Если уравнения (11.34) и (11.35) считать уравнениями возмущенного движения, то по знакам коэффициентов их характеристических уравнений можно судить об устойчивости дви-•жения. При возрастающей характеристике все .коэффициенты характеристического уравнения положительны. 'Как было показано в § 37, этого признака достаточно для установления асимптотической устойчивости систем, движение которых описывается уравнениями не выше второго порядка. При падающей характеристике возможно получение неустойчивых режимов, так как в характеристическом уравнении имеется отрицательный коэффициент. Такое же заключение можно сделать, исследуя реше* ния уравнений (11.34) и (11.35).

нилось. Что при этом произойдет со всей описанной картиной поведения фазовых траекторий? Оказывается, ничего [15]. Точнее, отрезки прямых, изображающие состояния равновесия, немного сместятся и изогнутся, торы, изображающие периодические движения, превратятся в близкие к ним интегральные тороидальные многообразия. Асимптотическое поведение всех остальных фазовых траекторий, изображаемое соответствующей схемой (как на рис. 7.92), останется прежним. Вместе с тем поведение фазовых траекторий на интегральной поверхности, вообще, претерпит существенные изменения; при этом изменится

Перейдем теперь к вопросу о взаимных пересечениях этих инвариантных кривых. Инвариантные кривые, полученные продолжением локальных инвариантных кривых неподвижных точек, стремящихся либо в сторону возрастания времени, либо в сторону его убывания к одной и той же неподвижной точке, не взаимопересекаются. Таким образом, могут пересекаться только инвариантные кривые, имеющие различное асимптотическое поведение, как при возрастании времени, так и при его убывании. Рис. 7 104. Из этого факта следует,

12. П о н т р я г и н Л. С., Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР (сер. матем.) 21, вып. 7 (1957).

Было показано асимптотическое поведение RL при малых и больших значениях г. Это позволило связь RL и г\ представить в виде

где С], С2 — постоянные, не зависящие от Ат и h, то говорят, что разностная схема сходится со скоростью 0 (Дт/ + /IP) или порядок точности схемы равен г по временной и р по пространственной переменной, т. е. понятие порядка точности характеризует асимптотическое поведение погрешности при измельчении сетки.

Асимптотическое поведение функции р*(г]о) при малых т0 описывается выражением

Рис. 18.67. Чувствительность верхней критической нагрузки р* к эксцентриситету То приложения силы: а) асимптотическое поведение функции p'Cli) при малых Т),; б) графики р—ф при фиксированных Т1>

20. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА

Исследуем асимптотическое поведение решения системы дифференциальных уравнений (20.1). Из анализа выражения (20.5) следует, что решение w (t) характеризуется асимптотическим поведением при t -> оо, если выполнено условие

20. Асимптотическое поведение решения системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата....... 131

6.6. Асимптотическое поведение решения системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний