Асимптотического интегрирования

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с К размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптиче-ский член, а второй — дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов.

Сравним решение (6-10-9) с классическим решением аналогичной задачи. Для 13= т0, используя асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение применено в [Л. 358] к расчету пограничного слоя на поперечно обтекаемом круглом цилиндре с равномерно распределенным отсасыванием по окружности цилиндра. Подтверждена исходная предпосылка о том, что метод асимптотического разложения пригоден при больших скоростях отсасывания, когда исключается возможность отрыва. Наименьшее значение скорости отсасывания из рассмотренных в [Л. 358] составляло:

(см. работу [8] стр. 226; более подробное изложение см. в [9], гл. 16). Асимптотическое разложение для больших / начинается с членов

Краткое содержание. В литературе, посвященной уравнениям пограничного слоя Прандтля, всегда возникает вопрос о краевом условии, которое регулирует переход пограничного слоя в невязкий внешний поток. Многие авторы считают, что это условие перехода является излишним, если распределение скоростей по одной из нормалей к стенке (например, входной профиль) действительно смыкается для больших у с величиной внешней скорости. Это предположение можно строго доказать, если принять, что решения в отношении х являются аналитическими. Необходимо при этом, чтобы входной профиль был бесконечно дифференцируем, а все его производные имели асимптотическое разложение.

В области 0 <у<С °° функция и (у) должна быть неограниченно дифференцируема (необязательно аналитически) и не равняться нулю при достаточно больших у. Кроме того, помимо удовлетворения простого условия (4), она должна при у-^со иметь асимптотическое разложение вида

3. Асимптотическое разложение ап (у) имеет вид

С учетом сделанных предположений эти теоремы, очевидно, справедливы и для п=0. Следовательно, можно также предположить, что при любом, но фиксированном п они справедливы и для всех ач , где р< = = 0, 1, 2,..., п. Поскольку последнее относится к а0, а\, .,., ап, то легко видеть, что правая часть выражения (14) неограниченно дифференцируема в области г/о<У<с°. Этим мы установили, что в результате непрерывного дифференцирования уравнения (14) по всем а (р = = 0, 1, ..., п) в правой части его всегда оказывается выражение, имеющее асимптотическое разложение. Следовательно, для завершения индукционного доказательства остается показать еще, что ал+1 имеет асимптотическое разложение вида (15).

Ограничение, налагаемое предположением о сходимости ряда (7) (основное наше предположение), можно, как впоследствии выяснилось, значительно ослабить, а именно вполне достаточно, чтобы ряд в правой части уравнения (7) при большом у представлял собой асимптотическое разложение функции тока для х->0.

показать, рассчитав N для малых значений Р Re с помощью формулы (23). Приводить здесь детали такого расчета нет необходимости, так как для этого исследованное асимптотическое разложение пришлось бы записать по отдельным коэффициентам л\ . К тому же последнее в дальнейшем использовано не будет. Таким образом, получаем простой ре-

жение, ибо расстояние от полюса Р до нулевой точки меньше, чем г. Так как функция U( Р , 1) (принимая во внимание разрез плоскостью р) не имеет в нижней полуплоскости полюсов, то часть пути интегрирования от — со до — г можно заменить путем от — г оо до — г (на рис. 5 — пунктирная линия). Таким образом, путь интегрирования от г до + оэ можно заменить интегрированием от г до — /со (рис. 5). Интегрирование от — г до +г проводится далее по полуокружности — г -> ir -> + f, где справедливо асимптотическое разложение (21). Следовательно, теперь интегрируем только асимптотическое разложение (пунктирный путь интегрирования). Интегрирование вдоль всей пунктирной окружности радиусом г равносильно интегрированию около нулевой точки (штриховая линия)- Таким образом, окончательно получаем интеграл по отрицательной мнимой оси.

Хабип [63] и Видера [188] построили варианты нелинейной теории анизотропных слоистых пластин с помощью асимптотического интегрирования трехмерных уравнений нелинейной теории упругости.

Джонсон и Видера [80 ] построили уточненную теорию анизотропных слоистых пластин с помощью асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости анизотропного тела.

1 Этот метод был предложен И. Я. Штаер-маном в его работе «О применении метода асимптотического интегрирования к расчету упругих оболочек». Известия Киевского политехнического и сельскохозяйственного институтов, кн. 1, вып. 2, 1924. Позднее этот метод был дан в работах Геккелера.

С математической точки зрения теорию пограничного слоя следует рассматривать как теорию асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений Навье — Стокса при очень больших числах Рей-нольдса. Основная особенность этого предельного перехода заключается в том, что решение уравнений пограничного слоя в общем может быть сведено к так называемой «задаче продолжений», т. е. поток с

Примем e = sin6/a за малый параметр в теории асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

1. Агаловян Л. А. Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек // Прикл. мат. и мех. 1966. Т. 30. Вып. 2. С. 388-398.

35. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикл. мат. и мех. 1962. Т. 26. Вып. 4. С. 668-686.

36. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикл. мат. и мех. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 593-608.

Отсюда можно сделать вывод, что утрачиваемые при переходе от системы (1.188) к системе (1.191) части общего решения должны обладать быстрой изменяемостью хотя бы по одной из криволинейных координат. Это действительно так, однако следует оговориться, что роль членов системы (1.188), имеющих малый множитель Я,2, может быть иногда существенной и при достаточно гладких решениях (например, если напряжения от изгиба оболочки значительно превосходят напряжения от усилий). Для выявления и приближенного определения быстро изменяющихся решений системы (1.188) может быть использован метод асимптотического интегрирования, суть которого продемонстрируем на простейшем примере.

В теории оболочек метод асимптотического интегрирования применяется уже давно. На его основе удалось разработать эффективные методы расчета осесимметричной деформации оболочек вращения [221, 249]. Далее он был перенесен на ограниченные одним или двумя параллельными кругами оболочки вращения, испытывающие деформацию общего вида [84, 251]. Первая попытка применить его к оболочкам произвольной формы была сделана С. М. Фейнбергом. Детальная разработка соответствующей теории была дана А. Л. Гольденвейзером [38, 40, 41 ], который рассматривает метод асимптотического интегрирования как универсальный прием, позволяющий, с одной стороны, строить приближенные решения задач теории оболочек, а с другой —• классифицировать данные задачи с качественной стороны, обнаруживая при этом возможности упрощения общих уравнений теории оболочек, допустимые в тех или иных конкретных случаях.

Глава посвящена рассмотрению двух наиболее интересных случаев деформирования оболочки вращения — осесимметрич-ному (k = 0) и обратносимметричному (k — 1) изгибам. Решение однородной системы разрешающих уравнений определяется методом асимптотического интегрирования и является точным в рамках кирхгофовской теории оболочек. Однако для практических целей достаточной обычно является точность первого (так называемого геккелеровского) приближения, соответствующая пренебрежению слагаемыми порядка }^h/R0 по сравнению с единицей. Частное решение также вычисляется приближенно на основе предложения о его плавности и совпадает с безмомент-ным решением. Главу заключают параграфы, посвященные отдельно цилиндрическим, коническим и сферическим оболочкам. Рассмотрен ряд задач, которые могут представлять самостоятельный интерес (например, аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек).