Абсолютно неупругом

Обратим внимание на то, что полученные результаты (1) и (2) весьма похожи и по форме, и по смыслу на случай абсолютно неупругого столкновения (см. § 4.6).

Неупругие столкновения двух частиц. При этом часть кинетической энергии частиц должна превратиться во внутреннюю или наоборот. Конечно, законы сохранения энергии и импульса в этом случае также справедливы. Но они не могут ничего сказать о том, какая часть кинетической энергии испытывает превращение во внутреннюю или наоборот. Это зависит от особенностей столкновения. Оно может быть почти упругим, когда лишь небольшая часть энергии участвует в указанном превращении, или почти абсолютно неупругим, когда практически вся кинетическая энергия превращается во внутреннюю. Представим себе, что мы можем менять упругие свойства покоящегося тела от абсолютно упругого состояния до абсолютно неупругого, когда налетающее на него тело просто слипается с ним. Тогда мы можем проследить столкновения при всех степенях «неупругости». Рассмотрим абсолютно неупругий удар. В этом случае в результате столкновения оба тела сливаются и движутся как одно тело. Считая, что

«Моделью» для всех задач подобного рода может служить задача о соударении шаров. Если шары катятся по гладкой горизонтальной плоскости, то сила тяжести уравновешена упругой силой давления плоскости, и если к тому же силой трения качения можно пренебречь, то систему из двух шаров можно считать замкнутой. Однако чтобы определить скорости двух шаров после соударения, зная их скорости до соударения, одного закона сохранения импульса недостаточно, так как нужно определить не сумму импульсов двух шаров, а каждый из импульсов в отдельности. В качестве второго уравнения для этой цели используется уравнение, выражающее закон сохранения энергии. Однако закон сохранения энергии в его механическом (а не общефизическом) смысле, как было указано, соблюдается не всегда, и в таких случаях задача об ударе шаров, вообще говоря, не может быть решена. Но в одном частном случае решение этой задачи становится возможным. Это — случай абсолютно неупругого удара.

При соударении таких тел (например, глиняных шаров) происходит следующее. В момент столкновения возникают быстрые деформации — шары будут быстро сжиматься; поэтому возникают значительные силы, которые будут сообщать обоим шарам ускорения, направленные в противоположные стороны. Так будет продолжаться до тех пор, пока скорости шаров не окажутся равными. В этот момент деформации шаров перестанут изменяться, а значит, исчезнут и силы (так как они существуют только до тех пор, пока деформации изменяются). Поэтому перестанут изменяться и скорости шаров и оба шара будут продолжать двигаться с одинаковой скоростью. Это и есть случай абсолютно неупругого удара.

дают такими идеально неупругими свойствами. Однако если скорости соударяющихся пластических тел не очень велики, то удар практически оказывается абсолютно неупругим. Продемонстрировать этот случай абсолютно неупругого удара можно при помощи шаров из пластилина (глины), подвешенных на нитках (рис. 67). После удара оба шара будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар при больших скоростях, когда v сравнимо с с (конечно, при этом мы уже не имеем в виду конкретно удар глиняных шаров, которым нельзя сообщить скоростей, сравнимых с б1). К случаю абсолютно неупругого удара близки некоторые типы соударений микрочастиц.

Для абсолютно неупругого удара двух одинаковых шаров с массой покоя т„, движущихся до удара навстречу друг другу со скоростями % = —u-j (рис. 117), мы нашли, что после удара масса покоя двух соединившихся шаров

Заметим, кстати, что первая из формул (9.49) совпадает с формулой (9.15), полученной выше для частного случая абсолютно неупругого удара.

При рассмотрении абсолютно неупругого удара (§ 32) мы даже предполагали, что возникающие в телах силы определяются не деформациями, а главным образом скоростью изменения деформаций. Но для многих реальных тел при известных условиях силы можно считать зависящими только от деформаций. Так мы приходим к представлению об абсолютно упругом теле, в котором силы однозначно связаны с деформациями. Каждой данной деформации соответствует вполне определенное распределение сил, возникающих в теле, и, наоборот, каждому данному распределению сил в теле соответствует вполне определенная деформация. Поэтому есть только одно состояние тела, в котором отсутствуют силы, действующие со стороны данного тела на другие тела или между отдельными частями тела. Это состояние тела и называется недеформированным.

Считая удар капли о лопатку ударом абсолютно неупругого шара, можно записать выражение для импульса силы Р удара

Примем значение амплитудного критерия, соответствующее случаю абсолютно неупругого соударения (^ = 0), за теоретическое, тогда

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Если внутренняя энергия частиц при этом изменяется, то столкновение называется неупругим, если не изменяется, то столкновение упругое. Например, столкновение бильярдных шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является неупругим, поскольку изменилась внутренняя энергия. Однако если бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например, слоновой кости), то его нагревание незначительно, а изменение вращательного движения пренебрежимо мало. В этом предположении удар бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкновение. Иногда говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчеркнуть, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в конечном состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю. Например, лобовой удар двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неупругим столкновением.

шары как материальные точки, до конца может быть решена только задача о центральном абсолютно неупругом ударе.

Выясним, как изменяется полная энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Поскольку в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от величин самих деформаций, а от скоростей деформаций, т. е. силы, подобные силам трения, то ясно, что закон сохранения энергии в его механическом смысле не должен соблюдаться. Действительно, кинетическая энергия двух шаров до удара

Соударение таких тел происходит следующим образом. Как и при абсолютно неупругом ударе, будут возникать деформации соударяющихся тел и в результате этого силы, изменяющие скорости тел. Так будет продолжаться до тех пор, пока скорости обоих тел не окажутся равными. Но с этого момента все будет происходить иначе. При абсолютно неупругом ударе в момент, когда скорости станут равны, силы, зависящие от скоростей изменения деформаций, исчезают, так как скорости изменения деформаций обратились в нуль, и скорости тел в дальнейшем остаются равными. В случае же упругого удара в этот момент силы не исчезнут, так как они зависят от деформаций, которые не исчезли, и скорости будут продолжать изменяться в том же направлении, что и раньше. Поэтому шары будут «отодвигаться» друг от друга и деформации будут уменьшаться, пока вовсе не исчезнут. К этому моменту упругие силы, возникающие в шарах, совершат такую же положительную работу, какая была затрачена на деформацию. Вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, снова превратится в кинетическую. Правда, при этом часть кинетической энергии может быть связана с движением деформированных частей обоих тел, т. е. с упругими колебаниями самих тел, а не с движением тела как целого. Но если соударяющиеся тела достаточно упруги и скорости до удара невелики, то эта энергия бывает очень незначительна и кинетическая энергия движения тел как целого после удара практически оказывается равной кинетической энергии до удара.

Когда происходит соударение тел, возникают деформации и силы, принципиально ничем не отличающиеся от тех, которые возникают во всех случаях, когда при непосредственном соприкосновении тел эти тела сообщают друг другу ускорения; однако эти силы действуют только кратковременно. Между тем лишь длительное отсутствие деформаций и упругих сил является характерным признаком состояния невесомости. Если происходит соударение тел, находящихся в состоянии невесомости, между соударяющимися телами действуют упругие силы только до тех пор, пока тела не вышли из соприкосновения (при абсолютно упругом ударе) или не стали двигаться как одно целое (при абсолютно неупругом ударе); только в течение очень короткого времени соударяющиеся тела при соприкосновении сообщают друг другу различные ускорения. Но все же, строго говоря, для состояния невесомости характерно, что все тела испытывают одинаковое ускорение не все время, а исключая те короткие промежутки времени, когда происходят соударения, которые приводят к деформациям соприкасающихся тел, вызывающим появление упругих сил взаимодействия.

чалась скорость, превышающая скорость света. Для ответа на этот вопрос рассмотрим конкретный пример, а именно, уже известную нам задачу об абсолютно неупругом ударе (§ 32), и полученному из рассмотрения этой частной задачи выражению для закона преобразования скоростей придадим общую форму на основании некоторых дополнительных соображений.

Наиболее простыми примерами, иллюстрирующими инвариантность законов механики, являются задачи, в которых применяется не сам второй закон Ньютона, а вытекающие из него законы сохранения импульса и энергии, применяемые для решения задачи об ударе. Это и понятно, так как в задачах об ударе мы не рассматриваем сил и ускорений и пользуемся только лишь формулами преобразования скоростей, связь между которыми устанавливается на реновации законов сохранения. Первым таким примером может служить задача об абсолютно неупругом ударе, рассмотренная в § 59. Действительно, из закона сохранения импульса при этом рассмотрении была получена формула преобразования скоростей (9.14), которая представляет собой частный случай общей формулы (9.48), вытекающей из преобразований Лорентца — Эйнштейна. Следовательно, если бы мы шли по обратному пути, т. е. применили бы формулу (9.48) к преобразованию скорости при переходе от системы К. к системе К', то убедились бы, что закон сохранения импульса соблюдается в системе К'.

Напомним, что в предыдущем параграфе величина коэффициента восстановления предполагалась равной О <^R < 1. Случай R = 0 из рассмотрения был исключен по той причине, что при абсолютно неупругом ударе возможны такие режимы движения, при которых полученные там соотношения теряют силу.

Если пренебречь податливостью подъемного каната, то по теореме об изменении количества движения системы (см. фиг. 6, Ct —> оо) при абсолютно неупругом ударе [4] можно найти скорость движения суммарной массы к началу третьего этапа:

При расчете ударно-вибрационного погружения к указанным выше допущениям обычно добавляют допущение о мгновенном и абсолютно неупругом ударе,

Решение получено в виде разложения по собственным формам малых колебаний. Недостатком подхода Сен-Венана является предположение об абсолютно неупругом ударе, не позволяющее учесть возможность отскока массы и повторного удара.