Безразмерные параметры

На рис. 109, а даны безразмерные отношения JVj/P и N2/P в функции L/1. Как видно, нагрузки на опоры резко возрастают с уменьшением расстояния между опорами. С увеличением отношения L/1 нагрузки падают, причем N! асимптотически стремится к величине Р, a N2— к нулю. При L/1 > 2 ч- 2,5 нагрузки становятся практически постоянными, а при L/1 < 1 резко возрастают. Таким образом, целесообразный диапазон отношений L/1 заключен в пределах 1,5 — 2,5 (заштрихованная область).

Первые работы в этом направлении сделаны, очевидно, Шуль-цем и Цаем [164, 165], определившими резонансные частоты (и таким образом модули упругости) обычным резонансным методом, а безразмерные отношения ? , характеризующие затухание по ширине полосы частот вблизи резонанса, соответствующих половинному спаду амплитуды резонансного пика *:

Следует иметь в виду, что при отношениях r/rk, близких к единице, вычисление функций Ф,, Фр и их производных должно выполняться с высокой точностью, так как соответствующие величины представляются малыми разностями близких чисел. Для облегчения расчетов составлена табл. 1.1, где с четырьмя значащими цифрами представлены безразмерные отношения этих функций к различным степеням текущего радиуса. Независимой переменной служит отношение внутреннего радиуса участка к текущему.

На рис. 109, а даны безразмерные отношения N^/P и N2/P в функции L/1. Как видно, нагрузки на опоры резко возрастают с уменьшением расстояния между опорами. С увеличением отношения L/1 нагрузки падают, причем NI асимптотически стремится к величине Р, a N2 — к нулю. При L/1 > 2 4- 2,5 нагрузки становятся практически постоянными, а при L/1 < 1 резко возрастают. Таким образом, целесообразный диапазон отношений L/1 -заключен в пределах 1,5—2,5 (заштрихованная область).

S S, ния угла а через безразмерные отношения — — ; — — ;

Следует иметь в виду, что при отношениях rlrb близких к единице, вычисление функций Фч, Фр и их производных должно выполняться с высокой точностью, так как соответствующие величины представляются малыми разностями близких чисел. Для облегчения расчетов составлена табл. 1.1, где с четырьмя значащими цифрами представлены безразмерные отношения этих функций к различным степеням текущего радиуса. Независимой переменной служит отношение внутреннего радиуса участка к .текущему.

Однако в том случае, если на перечисленные выше безразмерные отношения наложены условия взаимной независимости, число безразмерных комбинаций основных параметров оказывается строго регламентированным. Установление связи между количеством основных параметров, структурой их размерностей и числом независимых безразмерных комбинаций переменных at, bs составляет содержание так называемой П-теоремы анализа размерностей.

Таким образом, безразмерные отношения П1? П2, П3, П4 образуют фундаментальную систему безразмерных комплексов для рассматриваемых основных параметров. Общее решение задачи о собственных частотах для неустановившихся процессов динамического нагружения упругого тела всегда может быть представлено в безразмерном виде Ft (IIj, П2, П3, П4) = 0 или в форме, разрешенной относительно искомого безразмерного отношения * 1/~Р~ f P та? \

— хя = хи — 0, Х1г = 1 и, следовательно, Па = Ра1. Остальные безразмерные отношения П& (k = 1, 7) получим,

Каждая строка матрицы решений (1.42) представляет собой набор показателей степени Х) (/ == 1, 11) в безразмерных комплексах lift (1.38) при фиксированных значениях k. Зная матрицу (1.42), можно без дополнительных вычислений представить безразмерные отношения (1.38) в форме

Так безразмерные отношения П5, П6 (1.43) могут быть заменены равнозначными с точки зрения анализа размерностей без-

Такие же безразмерные параметры получаются и при анализе теплоотдачи от поверхности трубы, но определяющим размером в них будет не длина /, а диаметр d, соответственно внутренней — при течении жидкости внутри трубы и наружный — при наружном обтекании одной трубы или пучка труб.

Для удобства анализа введем безразмерные параметры:

Следует особо отметить, что в математической формулировке задачи (5.1) ...(5. 16) используется только величина X теплопроводности пористого материала, но не Хт теплоносителя. Поэтому и в определяющие параметры Bi, Ре, у2 (а также, как будет показано ниже, и в критерий Nu) входит величина X теплопроводности проницаемого каркаса. Параметр Ре = G5c/\ является модифицированным критерием Пекле и представляет собой отношение количества теплоты, переносимой вдоль канала теплоносителем и теплопроводностью через пористую матрицу. Безразмерные параметры Ре и 7 —hv82/\ постоянны вследствие постоянства по сечению канала расхода охладителя G.

Численное определение (±Тг производится по номограмме, приведенной на рис. 7.25, через безразмерные параметры температуры, расстояния и времени.

где неизвестными являются безразмерные параметры

где точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени и введены безразмерные параметры

?1 = Т" I/ MS-ГА ' 4z~~k~ \ "MS^TA" и безразмерные параметры

Для удобства анализа введем безразмерные параметры : С В Ь„ LM

Введем безразмерные параметры

Уравнение (7.89) справедливо как для стержней переменного сечения (когда п\, А33 и /Зз зависят от е) — участок / (рис. 7.10,6), так и для стержней постоянного сечения (когда п\ = const, A33 = const и /33 = const). Безразмерные параметры для участка /// равны

Для вычисления сигнала Рт из (2.47) применяют метод моделирования. Выделяют безразмерные параметры, от которых зависит решение, и строят систему кривых в безразмерных координатах. Если излучатель и приемник одинаковы, таких параметров четыре. Удобно выбрать следующие: отношение расстояния между преобразователями г=х к длине ближней зоны Гб, Ь/а — отношение радиусов дефекта и преобразователя, п/г — отношение расстояния дефекта от излучателя к расстоянию между преобразователями, у/а — отношение смещения дефекта от общей оси преобразователей к их радиусу. Однако параметр у/а можно исключить, если указывать на номограмме минимальные значения Р^/Рс, т. е. соответствующие наибольшему ослаблению сквозного сигнала при перемещении дефекта в плоскости MN. Такая постановка задачи вполне соответствует реальным условиям контроля, когда отыскивают минимум прошедшего сигнала. Параметр г\/г полагают равным 0,5, т. е. считают, что дефект расположен посередине между преобразователями. Позднее будет рассмотрено влияние изменения у/а и п/г.