Бигармонического уравнения

бифуркации (см. рисунок 1.22), характерна для всех типов бифуркационной неустойчивости. В случае лазера (твердотельного), переход от излучения лам-

Достижение условий, при которых реализуется ветвление трещины, отвечает реализации бифуркационной неустойчивости трещины. В этой критической точке реализуется принцип подчинения, когда множество переменных подчиняется одной (или нескольким) переменным. Его реализация связана с достижением верхней 1раницы разрушения отрывом и перестройкой диссииа-тивных структур. На этой границе система сама выбирает оптимальные механизмы диссипации энергии, так что процесс носит автомодельный характер -на его развитие не требуется внешняя энергия, а перестройка диссипативных структур носит самоорганизующий характер (за счет накопленной внутренней энергии). В этих условиях динамика свободного разрушения определяется самоподобным ростом микротрещины, обеспечивающим локальный отток энтропии из системы.

Рассмотренный в [38] универсальный параметр инвариантности и предельная повреждаемость означают достижение бифуркационной неустойчивости системы, границы которой несут фундаментальную информацию о свойствах среды, в данном случае предельно поврежденного материала.

Йри оценке эффективности лечебных и профилактических мероприятий на трех этапах оказания медицинской помощи (реанимация — терапевтическое отделение поликлиника) необходимо учитывать особенности бифуркационной неустойчивости или стабильности кровооб-ращения на органном и организменном уровнях. Наиболее надежными методами лечения ЭЯК оказались различные сочетания эндоскопического гемостаза и последовательного дифференцированного применения наиболее мощных антисекреторных и антихеликобактбрных фар-макопрепаратов.

бифуркации (см. рисунок 1.22), характерна для всех типов бифуркационной неустойчивости. В случае лазера (твердотельного) переход от излучения лам-

Из представленного анализа можно сделать вывод, что закономерности образования в процессе ПД низкоэнергетических субструктур следует рассматривать как с позиций их организации при достижении критической плотности дислокаций, так и с точки зрения самоорганизации диссипатив-ных структур -в точках бифуркационной неустойчивости системы. В первом случае движущей силой процесса является стремление системы в виде пластически деформируемого твердого тела к локальному минимуму свободной энергии. При этом для большого числа сплавов, независимо от внутреннего строения их кристаллической решетки и внешних условий нагружения [137, 139], последовательность образующихся субструктур дефектов практически детерминирована (см. рис. 68). Во втором случае процесс образования той или иной доминирующей диссипативной структуры контролируется стремлением системы к минимуму производства энтропии. При этом особо важную роль в областях бифуркационной неустойчивости системы приобретают внутренние термодинамические флуктуации и внешние шумы, обусловливающие стохастические эффекты [16].

В работе [200] показано, что в области бифуркационной неустойчивости система уравнений (123) может быть сведена к системе уравнений реакционно-диффузионного типа:

Изменение вида отклика системы с увеличением давления и обнаруженные критические давления отражают физические процессы в системе, которые сейчас можно связать с точками ее бифуркационной неустойчивости.

отвечают точкам бифуркационной неустойчивости. Их фундаментальность подтверждается наличием взаимосвязи между параметрами, контролирующими стадии I — Ш.

Однако если не учитывать, что рассматриваемая система обменивается энергией и веществом с окружающей средой, то возникают серьезные трудности в математическом описании этого процесса и установлении критерия ветвления. Условия, при которых происходит ветвление трещины, соответствуют возникновению ее бифуркационной неустойчивости. Поведение системы в этой точке контролируется принципом подчинения, когда множество переменных подчиняется одной (или нескольким) переменным. Неустойчивость трещины при К\ = KIC связана с достижением верхней границы разрушения отрывом в условиях плоской деформации. В этой точке система сама выбирает оптимальные механизмы диссипации энергии, так что процесс носит автомодельный характер — на его развитие не требуется дополнительная энергия, а перестройка диссипативных структур носит самоорганизующий характер — происходит за счет накопления внутренней энергии. В этих условиях динамика самоподобного разрушения определяется самоподобным ростом микротрещин, обеспечивающим локальный отток энтропии из системы.

В точке бифуркационной неустойчивости трещины зависимость между критическими макропараметрами Wc и Sc, отвечающими за неустойчивость

Подводя итог сказанному в настоящем разделе, отметим, что Эйри фактически заменил одну краевую задачу (для системы дифференциальных уравнений (9.96) и граничных условий (9.88)) другой—для бигармонического уравнения (9.100) и соответствующих граничных условий для функции ф.

Тогда определение исходного напряженно-деформированного состояния пластины сведется к решению бигармонического уравнения

Начальные усилия связаны зависимостями (4.3) с удлинениями и сдвигами е?, е°, у° в срединной плоскости, которые с помощью линейных зависимостей (4.1) выражаются через производные начальных перемещений. Это позволяет свести задачу определения функции усилий ф0 к решению бигармонического уравнения

316. Устинов Ю. А., Ю д о в и ч В. И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе.— Прикладная математика и механика, 1973, т. 37, вып. 4.

а также выражения вида гз = /0 (ari) J0 (rar2), где J0 — бессе-лева функция нулевого порядка; а — произвольная величина. Решениями бигармонического уравнения V2V2i) = 0, кроме гармонических. функций, являются также решения уравнения У2гз = = ip0, в правой части которого стоит какая-либо гармоническая функция; _

Модели для решения бигармонического уравнения — Схемы 605

ментальные данные, полученные в опытах с натрием. Результаты расчетов не очень хорошо совпадают с опытными данными. Возможно, для бигармонического уравнения метод эквивалентного кольца имеет значительно меньшую точность.

релаксации, aV2T = т2 2 -f -=—,— на ^LC-сетке (рис. 5, е). Для моделирования бигармонического уравнения

Решение бигармонического уравнения

Покажем, что при постоянных объемных нагрузках X = pgx и Y = == pgy решение задачи о плоском деформированном состоянии в напряжениях сводится к решению того же бигармонического уравнения (2.8), к которому была сведена задача о плоском напряженном состоянии. Действительно, уравнения равновесия и зависимости, связывающие компоненты деформаций &х, ку,'уху с перемещениями и и v, в этих двух задачах полностью совпадают; различие между ними заключается только в зависимостях закона Гука, связывающих компоненты деформаций с компонентами напряжений. Преобразуем формулы (2.11) и (2.12), введя новые обозначения:

Вернемся к общим уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки р gr и pge равны нулю. В §2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8); при этом напряжения выражаются через функцию напряжений <р по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно: достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так: