Естественные граничные

Итак, деформация сдвига в ерединной поверхности

Из уравнений (2.108) — (2.110), определяющих деформации ерединной поверхности, можно исключить тангенциальные компоненты перемещения и, и. Таким образом, получим следующее уравнение совместности деформаций:

Деформации эквидистантного слоя, Гипотезы Кирхгоффа — Ля-ва позволяют, зная деформации и изменения кривизны ерединной поверхности оболочки, найти также ^деформации слоя, находящегося на расстоянии г от нее (эквидистантного слоя). На рив. 3.3 показан участок меридионального сечения оболочки до и после деформации (толщина стенки показана преувеличенной). До деформации длина меридионального элемента эквидиетантного

Формулы для деформаций ерединной поверхности, угла поворота нормали и параметров изменения кривизны [ем. формулы (3.7), (3.9), (3.14), (3.15) и (3.16)1 получают вид

Так, например, максимальное напряжение в ерединной поверхности, вызванное силой

1. Материальный элемент, нормальный к срединной поверх--ноёти оболочки, и после деформации последней остается нормальным к изогнутой ерединной поверхности. , 2. Изменением длинш этого элемента пренебрегают.

Рассмотрим деформацию оболочки без растяжения срединной поверхности. Условия отсутствия деформаций в ерединной поверхности получают вид

Отбрасывая несущественную постоянную в выражении для перемещения ы6, получим окончательно следующие выражения для перемещений при изгибании пружины без деформации ерединной поверхности:

Последние слагаемые в этих уравнениях представляют собой проекции поперечных еил, возникающие вследствие того, что грани деформированного элемента dx dy повернуты относительно друг друга (рис. 2.30). Усилия в ерединной поверхности Т„ Ту, Sxy влияют на изгиб пластины только в том случае, если они существенно больше поперечных сил. В противном случае справедлива линейная теория изгиба. В уравнениях (2,114) попе-^ речные силы множатся на малые кривизны изогнутой пластины, поэтому последними слагаемыми можно пренебречь (сравните е изложенной в § 35 теорией пологих оболочек) и записать эти уравнения в виде

Формулы для деформаций ерединной поверхности, угла поворота нормали и параметров изменения кривизны [ем, формулы (3.7), (3.9), (3.14), (3.15) и (3.16)1 получают вид

Так, например, максимальное напряжение в ерединной поверхности, вызванное силой

позволяет установить естественные граничные условия.

Аналогично показанному в настоящем разделе выводу может быть сделан вывод дифференциальных уравнений равновесия и совместности деформаций в теории упругости, в теории пластин и оболочек и т. д. Одновременно с уравнениями могут^быть получены все естественные граничные условиях). Можно показать, что уравнения Эйлера инвариантны при преобразовании подынтегральной функции в функцию от новых независимых переменных. Методы вариационного исчисления удовлетворяют тому требованию, что минимум скалярной величины (функционала) не зависит от выбора координат. Это наиболее естественным образом соот-

щий от них, имеет стационарное значение, позволяет получить все уравнения теории упругости как уравнения Эйлера и одновременно естественные граничные условия. Такой вариационный принцип обсуждается в § 15.21.

Вариационные принципы механики, с одной стороны, имеют большое теоретическое значение, поскольку они выявляют энергетическую основу теории и устанавливают связь между различными подходами в описании проблемы теории. С другой стороны, важным является практическое значение принципов, поскольку они позволяют, во-первых, имея общие выражения для функционалов, находить дифференциальные уравнения и естественные граничные условия в любых конкретных случаях, что непосредственно в ряде случаев сделать затруднительно, а во-вторых, находить решения, минуя составление дифференциальных уравнений, при помощи так называемых прямых методов.

Если края пластины свободны, то на них должны выполняться естественные граничные условия, следующие из стационарности функционала (2.99):

которые представляют собой условия равновесия элемента оболочки соответственно в направлениях ta, tz, п. Из условия равенства нулю контурного интеграла следуют естественные граничные условия.

Одной из первых была модель, рассмотренная в работе [6]. Авторы этой работы обратили внимание на естественные граничные условия при изменении теплосодержания жидкости в потоке не-догретой жидкости и постулировали закон его изменения в виде

В уравнениях (1.4.27) в круглых скобках под знаком интеграла стоят соответственно основные уравнения равновесия объемной задачи теории упругости и силовые (естественные) граничные условия.

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЗ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационных методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым.

вытекают следующие естественные граничные условия:

Применение формул Остроградского-Гаусса для криволинейных координат позволяет из (9.9-2), (9.9.5) и (9.9.8) получить уравнения равновесия и естественные граничные условия. Скалярная форма уравнений равновесия для осей, совпадающих с проекциями возможных перемещений S#, Sv, Sw: