Естественном состоянии

где ю — угловая скорость вращения естественного трехгранника осей, мысленно связанного с безынерционной трубкой, внутри которой находится вращающийся стержень. Уравнение поступательного движения элемента стержня остается таким же, как и при «0 = 0 (2.20). Уравнение (2.21) с учетом юо(т) принимает вид

Главные оси сечения стержня в общем случае могут не совпадать с осями естественного трехгранника {ег-}, поэтому

Поскольку взаимное расположение векторов t-, v, b не изменяется, соответствующее движение естественного трехгранника можно рассматривать как движение твердого тела: поступательное перемещение вместе с точкой М и вращение относительно этой точки с угловой скоростью И. Вектор Q называется вектором Дарбу.

Поступательное перемещение естественного трехгранника не меняет величин составляющих его векторов. Производная 1 каждого вектора, жестко связанного с трехгранником, равна линейной скорости движения его конца, обусловленной вращением трехгранника, и определяется векторным произведением И на этот вектор. В частности, производные самих единичных векторов выражаются формулами

Двигая точку а вдоль кривой, будем изменять г, т и k; вектор -с и его приращение определяют соприкасающуюся плоскость, в которой расположена главная нормаль в точке а. Проведем через точку а соприкасающуюся окружность — ее плоскость на чертеже отмечена штриховкой. Обозначим единичный вектор главной нормали через v; нормаль к кривой в точке а, перпендикулярная к касательной и к главной нормали, называется бинормалью, обозначим ее единичный вектор через р. Три полуоси, на которых лежат векторы т, v и р, назовем естественным трехгранником кривой в точке а. Вершину естественного трехгранника также поместим в центре О сферы, тогда конец вектора бинормали будет сферическим центром соприкасающейся окружности кривой для точки а.

Эти формулы дают характеристику движения естественного трехгранника вдоль кривой. Кинематическая интерпретация этих формул следующая: трехгранник совершает два вращения: вокруг бинормали, модуль производной угла которого по дуге равен кривизне кривой 1/ръ где рх — радиус кривизны, и вокруг касательной, модуль производной угла которого по дуге равен кручению кривой 1/р2, где р2 — радиус кручения. Два указанных движения в сумме определяют движение концов векторов трехгранника, начало которого помещено в точке О.

Относительное расположение трехгранника радиуса-вектора и естественного трехгранника определяется следующим путем. Обозначим угол между радиусом-вектором г и единичным вектором р бинормали или между единичными векторами k и v центральной нормали и главной нормали через ц:

Чтобы проследить за движением трехгранника радиуса-вектора, напишем соотношения между единичными векторами трехгранника образующей и естественного трехгранника

Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии — образующей поверхности. При движении точки по сферической кривой образуется поверхность, описываемая радиусом-вектором точки из центра сферы. Но эта поверхность коническая, и для характеристики кривой достаточно проследить только за угловыми перемещениями естественного трехгранника. При движении же по линейчатой поверхности единичный винт образующей совершает пространственное движение, и для характеристики движения единичного винта и связанного с ним трехгранника

Так как В — единичный винт центральной касательной к нормали, то В -Т — О, B-N = 0. Определим относительное расположение трехгранника образующей и естественного трехгранника. Пусть Q = 2_ (К, В) = 1_ (К, N) — комплексный угол между единичными винтами образующей. и бинормали или между единичными винтами центральной касательной и главной нормали. Поскольку трехгранник образующей и естественный трехгранник имеют общую ось — центральную нормаль, угол Q полностью характеризует относительный наклон одного трехгранника к другому.

Формулы Френе для линейчатой поверхности характеризуют следующие движения естественного трехгранника: а) комплексный поворот (вращение и скольжение) относительно единичного винта бинормали В, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине кривизны поверхности, б) комплексный поворот вокруг единичного винта центральной нормали Т, модуль производной комплексного угла которого по комплексной дуге поверхности равен величине второй кривизны поверхности.

электронов. Номер элемента в периодической системе равен числу протонов в ядре атома (заряду ядра), а следовательно, и числу вращающихся вокруг ядра электронов. Атомный вес элемента — это сумма масс протонов и нейтронов, составляющих ядро атома. Каждый элемент характеризуется постоянным числом протонов, входящих в состав ядра, а количество нейтронов в ядре различно. Атомы с идентичным атомным номером, но различным числом нейтронов в ядре, обладающие одинаковыми свойствами (хотя и разными атомными весами), являются изотопами. Элементы в естественном состоянии состоят из смеси изотопов.

Предложено круговинтовое зацепление высокой несущей способности (М. Л. Новиков), созданы основы контактно-гидродинамической теории смазки (А. И. Петруеевич и др.); разработан избирательный перенос в парах трения, обеспечивающий в определенных условиях почти безызносную работу (Д. Н. Гаркунов, И. В. Крагельский); установлена прямая пропорциональность износостойкости материалов в естественном состоянии от твердости (М. М. Хрущов); разработан расчет на изнашивание как усталостный процесс и расчет сил трения (И. В. Крагельский и др.).

Теория пространственно-криволинейных стержней необходима не только для расчета стержней, которые в естественном состоянии (до нагружения) имели пространственную форму (к,ак, например, пружины, показанные на рис. В.7 и В.8), но и для исследо-

вания статики и статической устойчивости стержней, которые в естественном состоянии имели плоскую криволинейную или прямолинейную форму.

Уравнение (1.26) позволяет определить компоненты их вектора перемещений и в декартовой системе координат (абсолютные перемещения). Если стержень в естественном состоянии был прямолинейным, то в этом случае L°=E и уравнение (1.26) принимает вид

Если стержень в естественном состоянии был прямолинейным (рис. 1.18), т. е. хш=0, то из (1.67) и (1.68) получаем уравнения

• 1.3. Получить уравнения равновесия для кругового консольного стержня, (рис. 1.21), находящегося на ускоренно движущемся объекте (считая перемещения точек осевой линии стержня малыми), для случая, когда вектор ускорения объекта а параллелен плоскости XtOx2 (ограничиться уравнениями нулевого приближения). На стержне имеется сосредоточенная масса т, которую можно считать точечной. Масса единицы длины стержня равна та. В естественном состоянии осевая линия стержня есть плоская кривая, лежащая в плоскости чертежа (в плоскости х1Ох2).

ф 1.4. Получить выражения для распределенных сил, действующих па стержень, в связанной системе координат при больших перемещениях точек осевой линии стержня. Стержень круглого сечения, прямолинейный в естественном состоянии (рис. 1.22), находится на вращающемся с угловой скоростью о> объекте. Ось вращения объекта перпендикулярна плоскости чертежа и проходит' через точку О.

Исследование потери устойчивости предварительно деформированного стержня существенно осложняется тем, что форма стержня при непрерывном его деформировании, относительно которой возможна потеря устойчивости, заранее не известна. Наиболее наглядно это видно на примере спиральной пружины (см. рис. 3.4): критическая форма пружины, показанная пунктиром, сильно отличается от ее формы в естественном состоянии. В АР и AT [см. уравнения (3.5), (3.6)] входят приращения внешних сил ДР(/), Aq, AT и Ац, учитывающие изменения направления и модуля сил при переходе стержня в новое равновесное состояние.

Форма осевой линии стержня в критическом состоянии совпадает с ее формой в естественном состоянии.

Форма осевой линии стержня в критическом состоянии отличается от ее формы в естественном состоянии. Основная особенность потери устойчивости криволинейных стержней относительно деформированного состояния заключается в том, что заранее не известно их критическое напряженно-деформированное состояние, в частности форма осевой линии стержня, которая может сильно отличаться от формы осевой линии в естественном состоянии. Например, когда определяется критическая нагрузка для прямолинейного в естественном состоянии стержня, то считается, что и в

Рекомендуем ознакомиться:

Естественных источников

Естественная циркуляция

Естественной конвекции

Естественной закруткой

Естественное стремление

Естественном состоянии

Естественно стремление

Единичной депланации

Евклидовом пространстве

Единичной дисперсией

Единичное перемещение

Меню:

Главная страница Термины