Евклидова пространства

истинная геометрия Вселенной, представляет собой физическую проблему, подлежащую экспериментальному исследованию. Описывая измерения, выполненные в нашем собственном трехмерном мире, мы обычно не задаем себе вопроса о том, справедлива ли евклидова геометрия, потому что евклидова геометрия является настолько хорошим приближением к геометрии Вселенной, что при практических измерениях не обнаруживаются какие-либо отклонения от нее. Это не означает, что применимость евклидовой геометрии самоочевидна или что эта геометрия совершенно точно выполняется в мировом пространстве. Великий математик XIX в. Карл Фридрих Гаусс высказал предположение, что необходимо проверить отсутствие кривизны трехмерного пространства, следующее из геометрии Евклида, измеряя сумму внутренних углов большого треугольника (рис. 1.10); он понимал, что если трехмерное пространство обладает кривизной, то сумма углов достаточно большого треугольника должна заметно отличаться от 180°.

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью: наше положение определяется положением Земли, и мы еще не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве?

*) Можно возразить, что сам этот метод измерения расстояний основан на предположении, что применима евклидова геометрия. Однако имеются другие методы определения расстояний, которые излагаются в современных книгах по астрономии.

На основании результатов астрономических измерений мы сделали вывод, что евклидова геометрия дает нам исключительно хорошее описание измерений длин, площадей и углов по меньшей мере до тех пор, пока мы не^остигнем огромных длин, порядка 1028 см и выше.

До сих пор ничего не говорилось о применимости евклидовой геометрии для описания очень маленьких конфигураций, сравнимых по величине с размерами атома (10~8 см) или атомного ядра (1(Н2 см). Вопрос о том, справедлива ли здесь евклидова геометрия, надо сформулировать следующим образом: можем ли мы получить правильное представление о внутриатомном мире и создать эффективную теорию, описывающую этот мир, сохраняя предположение о выполнимости аксиом евклидовой геометрии? Если можем, то нет оснований подвергать сомнению применимость евклидовой геометрии в качестве достаточно хорошего приближения. Мы увидим в т. IV, что теория атомных и внутриатомных явлений, по-видимому, не приводит к парадоксам, препятствующим нашему пониманию этих явлений. Многие факты еще остаются непонятными, но среди них нет таких, которые приводили бы к противоречиям из-за геометрических

причин. В этом смысле евклидова геометрия выдерживает экспериментальную проверку по меньшей мере вплоть до размеров порядка 10~18 см.

Мы можем сформулировать некоторые следствия экспериментально доказанного утверждения о том, что евклидова геометрия применима к физическим явлениям.

Например, евклидова геометрия утверждает, что сумма углов треугольника равна л. Это утверждение в принципе может и должно быть проверено на опыте. В самом деле, прямая линия определяется как кратчайшее расстояние между двумя точками. Поэтому, взяв некоторые три точки, связанные с некоторым материальным телом, мы в принципе можем построить треугольник с вершинами в этих точках. При этом возникает вопрос о неизменности (твердости) масштабов измерения при переносе из одной точки в другую, о неизменности материального тела, с которым связаны рассматриваемые три точки. Ответ на этот вопрос также может быть дан только в результате эксперимента, причем не одного какого-то эксперимента, а всего экспериментального опыта. Измерение, например, длины естьсрав-

Теперь вернемся к проверке истинности евклидовой геометрии. Согласно сказанному можно утверждать, что действительно можно построить треугольник, стороны которого определены однозначно. Очевидно, далее, что с помощью соответствующих методов можно измерить все углы треугольника. Сложение полученных результатов либо даст я, либо не даст. Если л не получается, то можно уверенно утверждать, что евклидова геометрия не подходит в качестве модели реального мира и нам нужна другая модель. Аналогично может быть поставлен вопрос о проверке справедливости тео-

В настоящее время изучены многие физические явления, которые позволяют сделать вывод о границах применимости геометрии Евклида. Результат сформулирован так: евклидова геометрия достаточно точно описывает геометрические соотношения реального мира начиная с расстояний, раз в десять меньших, чем размеры ядер, т. е. с расстояний 10 м, до расстояний, близких к «размерам Вселенной», т. е. расстояний 1026 м« 10'° световых лет. Однако на этих расстояниях (порядка 10 млрд. световых лет) должна начать проявляться неевклидо-вость пространства, если справедливы предсказания теории относительности. Есть все основания думать, что на расстояниях, меньших 10~16 м, геометрия Евклида продолжает быть справедливой, но неизвестно,"до сколь малых расстояний.

В последние годы для анализа сложной поверхности статического и усталостного разрушения, наряду с обычной фрактографией, все шире используются методы фрактальной и мультифрактальной параметризации. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяю! дроблю, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные .фермы изящнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта -фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому и друг другу. Это простое определение фрактала не является строгим и полным. Регулярные фракталы - это прежде всего язык геометрических обра-:юв (моделей). Они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Независимо от природы и метода построения у всех фракталов есть одно важное свойство: степень изрезанное™

Основное утверждение принципа сжимающих отображений применительно к конечной области G многомерного евклидова пространства состоит в том, что если сжимающее отображение Т преобразует эту область G в себя, то в ней имеется единственная неподвижная точка х* и вся область G при неограниченном повторении отображения Т

Начало чтому было положено Б. Мандельбротом [9J, развившим концепцию фракталов как самоподобных объектов с дробной (нецелой) размерностью, обладающих свойством масштабной инвариантности. Подходы макротермодинамики, синергетики, как теории самоорганизующихся структур, и представления о фракталах, как самоподобных структур, количественно описывающих все типы структур и объектов, отличных от геометрии евклидова пространства, являются универсальными. Это позволяет решать

аналогичные декартовым координатам четырехмерного евклидова пространства. В формулах (56) и ниже t =-= (— l)1/2. Расстояние от начала координат до некоторой точки равно

Начало этому было положено Б. Мандельбротом [9], развившим концепцию фракталов как самоподобных объектов с дробной (нецелой) размерностью, обладающих свойством масштабной инвариантности. Подходы макротермодинамики, синергетики, как теории самоорганизующихся структур, и представления о фракталах, как самоподобных структур, количественно описывающих все типы структур и объектов, отличных от геометрии евклидова пространства, являются универсальными. Это позволяет решать

экономический эффект определяется последовательным учетом изменяющихся статей расходов на всех этапах единого цикла создания и эксплуатации продукции. В общем случае, для решения задачи оптимизации необходимо определить целевую функцию, для этого надо достаточно полно знать все данные, от которых зависит интересующий нас процесс. В ряде случаев такой процесс можно моделировать математическими зависимостями. При этом конечной задачей является поиск минимума или максимума целевой функции, определенной на некотором подмножестве евклидова пространства [33]. Большинство задач технической диагностики сводится к поиску минимума функции издержек F (х), связанных с эксплуатацией и

нем. математика Д. Гильберта (D. Hilbert; 1862 — 1943)] — обобщение понятия евклидова пространства на бесконечномерный случай. Простейший пример — Г. п. (а: совокупность последователь-

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа пл в формулу (59) подставляют среднее значение MR и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профило-граммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, со) с нормальным распределением вероятностей. Переменная к означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства Rn, а переменная со — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства.

В более поздней работе [28], опубликованной посмертно, А. П. Котельников делает такое замечание: «Принцип перенесения во всей его общности был открыт и формулирован независимо, и, по-видимому, одновременно Штуди и мною. Существование этого принципа для евклидова пространства было доказано в моей работе «Винтовое счисление». Надо думать, что принцип перенесения уже был известен Штуди, когда он писал . . . работу «Ueber neue Darstellung der Kra'fte». Но вполне определенно он формулировал этот принцип в сочинении «Ueber Nicht-Eukli-dische und Liniengeometrie». Его формулировка отличается от выше данной и основывается на свойствах параллельных Клиффорда».

Равенство (11.3) устанавливает метрику евклидова пространства, причем основные метрические свойства этого пространства выражаются условиями:

число не совпадающих разрядов в Л/-разрядных двоичных числах, представляющих векторы объектов. Обобщенное расстояние удовлетворяет метрическим свойствам (11.4) евклидова пространства. Диагностическая мера расстояния. Иногда оказывается целесообразным использовать в качестве диагностической меры расстояния некоторую степень расстояния

Норма вектора. Длиной, или нормой I г , вектора г = (х, у, г) евклидова пространства называют неотрицательный квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора:

Рекомендуем ознакомиться:

Естественной термопары

Единичных технологических

Естественного освещения

Естественно рассматривать

Естественно уменьшается

Естественную вентиляцию

Европейских социалистических

Единичной нагрузкой

Меню:

Главная страница Термины