Евклидовом пространстве

До недавнего времени развитие науки базировалось на евклидовой геометрии и законах классической термодинамики, установленных для изолированных систем, т.е. для таких систем, которые не допускают переноса энергии и вещества через свои границы. В дальнейшем была показана возможность использования этих законов и для закрытых систем, допускающих перенос энергии через свои границы. Однако, в природе, как правило, системы являются открытыми, т.е. обмениваются энергией и веществом с окружающей средой.

1. Пространство, имеющее три измерения, подчиняется евклидовой геометрии.

Положение точки, в которой происходит событие, может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась вполне реальными приемами сравнения измеряемых величин с образцовыми эталонами.

большим числом измерений, но им так же трудно представить в своем воображении такие вещи, как нам — нарисовать себе четырехмерное пространство. Как они могут установить, что живут на поверхности, обладающей кривизной? Чтобы убедиться в этом, нужно проверить, что для данной поверхности теряют силу хотя бы некоторые аксиомы геометрии на плоскости, а для этого надо экспериментально установить, выполняются ли определенные теоремы евклидовой геометрии.

Однако эти обитатели всегда могут сказать, что законы геометрии на плоскости точно описывают их двумерный мир, а причина указанного несоответствия связана со свойствами линеек, применяемых для измерения кратчайшего расстояния и определения «прямой» линии. Они могут сказать, что метровые линейки не имеют постоянной длины, а растягиваются и сжимаются, когда их переносят в различные места поверхности. Только в результате непрерывных измерений, выполненных различными способами и давших одинаковый результат, становится очевидно, что наиболее простое объяснение нарушения евклидовой геометрии заключается в том, что поверхность имеет кривизну.

истинная геометрия Вселенной, представляет собой физическую проблему, подлежащую экспериментальному исследованию. Описывая измерения, выполненные в нашем собственном трехмерном мире, мы обычно не задаем себе вопроса о том, справедлива ли евклидова геометрия, потому что евклидова геометрия является настолько хорошим приближением к геометрии Вселенной, что при практических измерениях не обнаруживаются какие-либо отклонения от нее. Это не означает, что применимость евклидовой геометрии самоочевидна или что эта геометрия совершенно точно выполняется в мировом пространстве. Великий математик XIX в. Карл Фридрих Гаусс высказал предположение, что необходимо проверить отсутствие кривизны трехмерного пространства, следующее из геометрии Евклида, измеряя сумму внутренних углов большого треугольника (рис. 1.10); он понимал, что если трехмерное пространство обладает кривизной, то сумма углов достаточно большого треугольника должна заметно отличаться от 180°.

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью: наше положение определяется положением Земли, и мы еще не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве?

До сих пор ничего не говорилось о применимости евклидовой геометрии для описания очень маленьких конфигураций, сравнимых по величине с размерами атома (10~8 см) или атомного ядра (1(Н2 см). Вопрос о том, справедлива ли здесь евклидова геометрия, надо сформулировать следующим образом: можем ли мы получить правильное представление о внутриатомном мире и создать эффективную теорию, описывающую этот мир, сохраняя предположение о выполнимости аксиом евклидовой геометрии? Если можем, то нет оснований подвергать сомнению применимость евклидовой геометрии в качестве достаточно хорошего приближения. Мы увидим в т. IV, что теория атомных и внутриатомных явлений, по-видимому, не приводит к парадоксам, препятствующим нашему пониманию этих явлений. Многие факты еще остаются непонятными, но среди них нет таких, которые приводили бы к противоречиям из-за геометрических

форме обычно предполагают, что выполняются все положения евклидовой геометрии. Если же геометрия пространства не является евклидовой, то операция сложения двух векторов может оказаться непростой и неоднозначной. Для пространства, обладающего кривизной, существует более общий математический язык — это метрическая дифференциальная геометрия, язык общей теории относительности, т. е. той области физики, в которой евклидову геометрию уже нельзя считать достаточно точной.

Если некоторая материальная точка покоится относительно этой системы координат, то ее положение относительно последней может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах.

Теперь вернемся к проверке истинности евклидовой геометрии. Согласно сказанному можно утверждать, что действительно можно построить треугольник, стороны которого определены однозначно. Очевидно, далее, что с помощью соответствующих методов можно измерить все углы треугольника. Сложение полученных результатов либо даст я, либо не даст. Если л не получается, то можно уверенно утверждать, что евклидова геометрия не подходит в качестве модели реального мира и нам нужна другая модель. Аналогично может быть поставлен вопрос о проверке справедливости тео-

вания образов, в котором выделяемые подмножества сигналов имеют вид «компактных» скопленных точек в метрическом пространстве, где определено расстояние между любыми двумя сигналами. Это скопление называют кластерами. В зависимости от априорных предположений о свойствах сигналов, принадлежащих одному кластеру, возможна та или иная постановка задачи КА. Одна из постановок заключается в следующем. Дано семейство решающих функций и обучающая выборка, представляющая собой множество точек в евклидовом -пространстве без указания их принадлежности к тому или иному классу. Необходимо выбрать такую решающую функцию из данного семейства, которая разбивает выборки на подвыборки так, чтобы сумма квадратов расстояний между всевозможными парами точек, принадлежащих одной подвыборке, были минимальной. В соответствии с другой возможной постановкой задачи каждый кластер описывается распределением вероятностей сигналов, которое зависит от параметре^, причем значения этих параметров известны. Дана выборка, в когорой смешаны сигналы из различных кластеров. По этой выборке необходимо оценить параметры всех распределений, чтобы затем найти решающую функцию. Эта задача является частным случаем параметрической задачи самообучения распознавания образов, поскольку при самообучении рассматривают любые распределения, а в случае КА естественно,рассматривают только унимодальные распределения, т.е. имеющие единственный максимум плотности вероятности в «центре» кластера. Разработаны различные итерационные алгоритмы решения этой задачи.

Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фрактальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми границами зерен. Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью АО фрактальной размерности границ для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение степени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух типов i-раниц изученных сталей и разность AD.

*) Линия, каждый отрезок которой MN является кратчайшим расстоянием между точками М и .N, называется в математике геодезической линией. Только в евклидовом пространстве геодезические линии всегда являются прямыми. (Прим. ред.)

Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фраюальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми границами зерен. Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью AD фрактальной размерности границ для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение степени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух типов границ изученных сталей и разность AD.

Несмотря на то что любую поверхность можно описать уравнением вида (5) , не всякую поверхность можно выбрать в качестве поверхности прочности; более того, поверхность прочности не может быть мнимой и должна быть односвязной. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ft, Рц, . . . для того, чтобы выполнялись эти требования, изучаются в курсах геометрии. Геометрическая интерпретация полезна при установлении ограничений на Fit Рц, ... и при определении главных осей. При плоском напряженном состоянии поверхность прочности является трехмерной, так как определяется тремя компонентами напряжений QI, 02 и а<;. Ради краткости изложения мы ограничимся — при рассмотрении геометрических интерпретаций и изучении корней уравнения (5) — лишь плоским напряженным состоянием и трехмерными поверхностями прочности. Метод определения характеристических направлений в /г-мерном евклидовом пространстве позволяет распространить полученные ниже результаты на случай трехмерных напряженных состояний и шестимерные поверхности прочности. Развернув уравнение (56) для случая плоского напряженного состояния, т. е. для i,j = 1, 2, 6, получим уравнение поверхности прочности второго порядка:

Эта система уравнений описывает q гиперплоскостей в (s + 1)-мерном евклидовом пространстве [102]. Подстановка любого набора \х*\ в эти уравнения дает набор значений {г/г), являющихся расстояниями от точек пересечения гиперпрямой, «параллельной» оси у, с гиперплоскостями (50.6) до гиперплоскости у = 0.

Условие (50.5) при его геометрической интерпретации означает выделение в (s + 1)-мерном евклидовом пространстве области О типа призмы с границами — «боковыми гранями» \xi = а(., х. = ЬЛ, «параллельными» оси у.

Отметим, что здесь имеет место существенное упрощение, которое вытекает из уже известного нам факта, что интегрирование по комплексному переменному сводится к интегрированию по соответствующему вещественному переменному. Это обстоятельство приводит к тому, что нет необходимости вводить какие-либо новые определения, связанные с мерой длины, площади и объемов в комплексном пространстве, и можно легко перейти от векторов к винтам, оставаясь в обычном трехмерном евклидовом пространстве.

Процесс идентификации осуществляется следующим образом. Рассмотрим в (т + 1)-мерном евклидовом пространстве п шаров <Оъ , - ., Оп, соответствующих техническим состояниям 5ц . . .

Процесс идентификации осуществляется следующим образом. Рассмотрим в (I + 1)-мерном евклидовом пространстве п шаров 01, . . ., Оп, соответствующих техническим состояниям Si, . . . . . ., Sn

Пересечение п + 1 гиперплоскостей, заданных (5.58) в (n-f 1)-мерном евклидовом пространстве, дает точку лг(,"+2>,

Рекомендуем ознакомиться:

Естественной вентиляции

Естественное освещение

Естественного состояния

Естественно состаренные

Естественную циркуляцию

Евклидова пространства

Европейского экономического

Единичной поверхности

Меню:

Главная страница Термины