Геометрическую прогрессию

Записанным выше ограничениям по углу давления i'l можно придать геометрическую интерпретацию. Используя заданные (рис. 17.7, а) или вычисленные (см. рис. 17.6,6, в) функции положения S/j ((ч) и передаточную функцию скорости и,,/,- (ф), строят график в координатах vnn, SH, т. е. аналогично построению на фазовой плоскости: скорость х - перемещение х.

Формула (35) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Во время движения точки m по плоской траектории радиус описывает («заметает») криволинейный сегмент (рис. II 1.5).

е > 0 можно указать такое б (е) > 0, что при выполнении неравенства р (х (t0), у) < б следует выполнение неравенства р (х (t), Y) < 8 Для всех значений t > t0 (рис. 1.10). Этим определениям можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Требование устойчивости по Ляпунову означает, что фазовые точки, расстояние между которыми в начальный момент не превышало величины б, в дальнейшем будут находиться друг от друга на расстоянии, меньшем величины е. Требование орбитной устойчивости несколько слабее: если в начальный момент расстояние фазовой точки от замкнутой траектории было меньше б, то в дальнейшем это расстояние не превысит величины е. Таким образом, орбитно устойчивоэ движение может оказаться неустойчивым по Ляпунову, однако периодическое движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно устойчиво.

Записанным выше ограничениям по углу давления О можно придать геометрическую интерпретацию. Используя заданные (рис. 17.7, а) или вычисленные (см. рис. 17.6,6, в] функции положения SB (ф) и передаточную функцию скорости vqB (q>i), строят график в координатах vqB, SH, т. е. аналогично построению на фазовой плоскости: скорость х — перемещение х.

которое имеет простую геометрическую интерпретацию. Величина

Впервые предложил общие уравнения движения твердых тел с неголономными связями, разработал классическую по простоте и законченности геометрическую интерпретацию случаев движения тела в жидкости, дал решения сложнейших задач аэродинамшт. и авиации (определение точки приложения подъемной силы, определение сил при неустановившемся полете, теория механизированного крыла и т. 9.) Опубликованием работы «О газовых струях» положил начало новой области механики — газовой динамике, приобретающей все большее значение с развитием скоростной авиации.

плоском напряженном состоянии изображен на рис. 2. Геометрическую интерпретацию критерия разрушения можно распространить и на общий случай трехмерного напряженного состояния, когда он представляется гиперповерхностью в шестимерном пространстве. Ниже будут приведены параметры материала для трехмерного напряженного состояния, но для сохранения геометрической наглядности будет рассматриваться лишь плоский случай.

Аналогичен смысл величин гу и ег. Что касается величин ухн, Ууг и yzx, то для них в условиях нелинейных зависимостей (6.38) или (6.41) геометрическую интерпретацию дать затруднительно.

Полученное решение имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 4.9). Если независимые сигналы xi(t) и х%(1) изобразить на плоскости двумя ортогональными векторами x\(t) 11x2(1), то функциям г/i (t) и yi(t) согласно (4.36) будут соответствовать векторы y\(t) и !/2(t), расположенные под острым углом. Операция (4.37) «разворачивает» эти векторы, одновременно уменьшая их модули, до совпадения с направлениями xi(t) THXz(t), после чего по формулам (4.38) определяются проекции htXi{t) на эти направления трехмерного вектора z(t).

Задача о нахождении оптимальных значений коэффициентов передач и масштабов имеет весьма наглядную геометрическую интерпретацию.

ций — на вещественную и мнимую координатные оси (рис. IX. 1), используя при этом геометрическую интерпретацию комплексных чисел

Частота вращения валов коробок передач представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем ср. Поэтому если минимальная частота вращения вала их, то

Частоты вращения валов коробок передач представляют геометрическую прогрессию со знаменателем ф. Если минимальная частота вращения вала п\, то

Таким образом, если линейные размеры ряда деталей образуют геометрическую прогрессию, то значения сечений, объемов, массь} моментов сопротивления и моментов инерции сечений также образуют геометрические прогрессии, но с иными знаменателями, и иными первыми и последними членами.

Ряды предпочтительных чисел неприменимы для создания унифици-робанных рядов машин с повторяющимися рабочими органами, flapa-метры унифицированных рядов складываются по другим законам, зависящим от реальных возможностей сочетания унифицированных органов и условий технической применяемости членов ряда, и не могут уложиться в геометрическую прогрессию.

Выражение в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1—2/,tga, сумма членов которой

Одним из важных свойств золотого сечения является единство аддитивности и мультипликативности. В математике аддитивность означает, что в числовом ряду Фь Ф2, Фз, Ф4, *5v Фп-ь Фп каждый предыдущий член ряда равен сумме двух последующих: Ф]=Ф2+Фз; Фг-Фз+Ф*;— ;Фп-2=Фп-1+Фп- Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф\, Ф2,Фз, Ф^ Фз— Фп-ь Фп все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф1 : Ф2= Ф2 : Фз= Фз : Ф*—...— Фп-ь

В изученных 1770 сочинений 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений [5]. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдена (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%). Интересно, что в этюдах Шопена не одно выражение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением: 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090 и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472. Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показателем, равным 1,618, а три другие являются производными золотой пропорции (0,764:0,472=1,618). Мелодия как бы растет и развивается, подчиняясь закону золотого сечения [5].

есть величина постоянная — амплитуды затухающих колебаний образуют геометрическую прогрессию. Натуральный логарифм этого постоянного отношения

* Ряды предпочтительных чисел представляют собой геометрическую прогрессию со_значсииями: для ряда Ra5 г/ = 5 1,6; для ряда Л.,,10 (/=/10к1,25; для ряда «„20 0 = 2«/

Важное практическое значение имеет расчет лучистого теплообмена между газом и оболочкой. Из количества энергии ?,а0Г*, излучаемой газом, стенкой поглощается ес,Е, и отражается (1 — ес,)?, (ест — степень черноты оболочки). Часть отраженной энергии поглощается газом, а оставшаяся доля энергии (1 — ес)(1 — А,)Е, возвращается стенке. При этом второй раз стенка поглотит Ес,(1 - ест)(1 - А,)Е,. Последовательно вычисляя и суммируя доли энергии, поглощенные стенкой, можно получить геометрическую прогрессию со знаменателем (1 - ?ст)(1 - /4,). Сумма членов этой прогрессии

В качестве основы классификации можно предложить такую градацию скоростей изнашивания, в которой износ за фиксированную продолжительность работы пары, принятую равной Т = = 100 ч, соизмерим с высотой неровностей этой поверхности (по характеристике Ra или принадлежности к данному классу шероховатости). Будем считать, что принадлежность к данному классу износостойкости означает, что износ за 100 ч работы равен наименьшему значению Ra (мкм), характерному для обработанной поверхности. Данная классификация приведена в табл. 21. Значения Ra для каждого класса составляют геометрическую прогрессию со знаменателем ср = 2. Поэтому и скорости изнашивания построены по этому же закону и дают более тонкую градацию, чем классы интенсивности изнашивания (см. табл. 20), где ср =* — 10. Износ на величину Ra означает полное исчезновение технологического и образование эксплуатационного микрорельефа, поэтому при назначении класса шероховатости исходной поверхности можно регулировать длительность периода микроприработки по отношению к фиксированному значению Т — 100 ч.