Гармонические коэффициенты

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе.

Глава 7. Гармонический осциллятор................206

Дополнение I. Точное решение задачи о колебании математического маятника (236). Дополнение 2. Ангармонический осциллятор (238). Дополнение 3. Модулирование параметров осциллятора (параметрическое усиление) (239). Математическое дополнение. Комплексные числа и гармонический осциллятор, совершающий вынужденные колебания (241).

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студентов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране); вынужденные колебания груза на пружине; задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости; прибор Прингсхейма; колебания связанных осцилляторов.

Рис. 5.25. Простой гармонический осциллятор находится в устойчивом равновесии при

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Рис. 7.6. Простой гармонический осциллятор, со* стоящий из массы М и невесомой пружины, жест, кость которой равна С. Перо, связанное с грузом^ вырисовывает синусоидальную кривую на бумажной ленте, движущейся с постоянной скоростью мимо М.

До сих пор мы пренебрегали влиянием трения на гармонический осциллятор. Влияние трения проявляется в том, что движение гармонического осциллятора затухает. Когда в уравнении движения учитывается трение, решение оказывается более близким к реальным условиям. Каким образом мы можем ввести трение в уравнение движения для свободной частицы? Трение выражается в действии на частицу тормозящей силы. Если на частицу действует только одна сила трения, то по второму закону Ньютона

7.5. Затухающий гармонический осциллятор

Если мы учтем тормозящую силу (рис. 7.11), то полная сила, действующая на невозбужденный гармонический осциллятор, будет равна

7.7. Гармонический осциллятор, совершающий вынужденные колебания

Подсчитаем для примера гармонические коэффициенты влияния для редуктора врубовой машины КМП (см. рис. 7. 5) при возбуждении ее гармоническим моментом с угловой частотой рв = = 979 рад/сек, приложенным к пятому участку (участок 5 — 6 на рис. 7. 5, б), соответствующему конической зубчатой передаче.

Аналитическое решение таких систем дифференциальных уравнений оказывается весьма громоздким и гармонические коэффициенты влияния в таком случае наиболее рационально определять на электронных счетных машинах.

Совершенно аналогично могут быть вычислены гармонические коэффициенты влияния и в машинах, имеющих разветвленные эквивалентные схемы.

4. Ю. Е. Глазов. Гармонические коэффициенты влияния при расчете колебаний стержневых систем.— Машиноведение, 1966, № 4.

Соотношения (4) и (6) получаем после умножения погонной нагрузки на Дж через гармонические коэффициенты влияния; другой способ приведен в работах [4, 8].

где Р.: — гармонические коэффициенты сил инерции; т — масса поступательно движущихся частей в кГсек^^м, т. е. поршня и части шатуна; т = тш, + т„ см. формулу (121)]; R — радиус кривошипа в см: ?2 — угловая скорость вращения вала в 1 /сек; м — порядок гармо-

В (VI. 21) q и q' — гармонические коэффициенты усиления при данной фиксированной амплитуде; И — частота изменения координаты на входе реле.

5. Специальная форма уравнений движения и представление решения задачи через гармонические коэффициенты влияния .... 203

И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЧЕРЕЗ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ

Основываясь на записи уравнений с помощь-о переменных ii,-.., ?к, в ряде случаев можно выразить решение нелинейной задачи о взаимодействии через обобщенные характеристики колебательной системы — гармонические коэффициенты влияния и фазовые сдвиги Это позволяет использовать полученное решение для определения колебаний, возбуждаемых одним и тем же возбудителем в различных колебательных системах. Для каждой конкретной колебательной системы нужно только предварительно найти коэффициенты влияния и фазовые сдвиги из решения линейной задачи о вынужденных колебаниях и внести их в решение нелинейной задачи.

Электромагнит (см. рисунок) является примером возбудителя колебаний подверженного заданным немеханическим воздействиям и описываемого неавтономными уравнениями движения, Вследствие необходимости рассматривать электромагнитные процессы в возбудителе и неавтономности уравнений движения теория систем с электромагнитами существенно отличается от изложенной выше теории систем с механическими возбудителями и должна быть отнесена к другому разделу теории систем с ограниченным возбуждением, Однако решение задачи о колебаниях под воздействием электромагнитов также можно представить через гармонические коэффициенты влияния.

Возбудители, относящиеся к одному из указанных типов, могут отличаться динамическими схемами, конструктивными особенностями и т.д. Поэтому могут существенно отличаться их математические модели и, соответственно, методы исследования взаимодействия. Кроме того, каждый возбудитель может использоваться для возбуждения колебаний различных колебательных систем. Отсюда следует, что задачи о взаимодействии возбудителей с колебательной системой составляют обширный раздел прикладной теории колебаний. Определение колебаний, возбуждаемых одним и тем же возбудителем в разных линейных колебательных системах, можно упростить, представив решение задачи о взаимодействии через гармонические коэффициенты влияния колебательной системы.

Рекомендуем ознакомиться:

Габаритные ограничения

Генератора пилообразного

Генераторных установок

Генератором постоянного

Гарантированные механические

Генератор импульсов

Генератор постоянного

Генерирующих мощностей

Географического положения

Геометрическая поверхность

Геометрические отклонения

Геометрических граничных

Геометрических несовершенств

Геометрических соотношений

Меню:

Главная страница Термины