Гармоническим колебаниям

называется поэтому амплитудной матрицей (или матрицей амплитудных векторов). Для каждого набора начальных данных
Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при их перемножении? Что такое биения? Являются ли биения гармоническими колебаниями?

Общее условие гармоничности колебаний. В большинстве случаев малые отклонения от положения равновесия приводят к гармоническим колебаниям. Но это не значит, что гармоническими колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое уравнением вида (50.3), является гармоническим независимо от малости х. Уравнение (50.3) получается из закона сохранения энергии (51.5) после дифференцирования по времени с учетом

Так, например, явление дисперсии, как уже упоминалось, состоит в том, что скорость распространения гармонических волн зависит от длины волны (но при распространении гармоническая волна не изменяет своей формы). Если источник возбуждает негармоническую волну, то ее можно разложить в спектр гармонических волн. Наглядно представить себе этот спектр можно следующим образом. Разложим в спектр негармоническое колебание источника, создающего рассматриваемую негармоническую волну, т. е. представим это негармоническое колебание как сумму гармонических колебаний с определенными частотами, амплитудами и фазами. Каждое из этих гармонических колебаний возбуждает в окружающем пространстве гармоническую волну. Все гармонические волны, возбуждаемые отдельными гармоническими колебаниями, и представляют собой спектр гармонических волн, составляющих исходную негармоническую волну. Как и в случае спектра колебаний, частоты гармонических волн определяются частотой исходной негармонической волны, а амплитуды и фазы гармонических волн определяются формой исходной негармонической волны.

Для контроля импедансным методом используют дефектоскопы АД-40И, АД-60С, АД-42И. Прибор АД-40И комплектуют совмещенными преобразователями, возбуждаемыми гармоническими колебаниями с частотой, регулируемой в диапазоне от 1,5 до 10 кГц. Прибор АД-42И работает только в импульсном режиме и комплектуется совмещенным и PC-преобразователями. Для первого из них несущие частоты лежат в пределах 2.. .5 кГц в зависимости от механического импеданса ОК, для второго—16.. 18 кГц. Прибор АД-60С комплексного применения, он рассмотрен в п. 3.2.4.

Рассмотренная в предыдущем разделе антропометрическая модель тела человека позволяет провести расчеты системы источник вибрации — виброизоляция — тело человека и определить наиболее оптимальные параметры виброизоляции. Обычно большинство систем виброизоляции работают в направлении максимального вибрационного воздействия. С этой точки зрения представленная на рис. 19 система источник вибрации — виброизоляция — тело человека является наиболее общей. Уравнения, описывающие колебания такой системы при возбуждении гармоническими колебаниями, имеют следующий вид:

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2,д) или затухающие колебания (рис. 18.2,в), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво.

42. Блех.ман И. И. Вращение неуравновешенного ротора, обусловленного гармоническими колебаниями его оси. Изв. АН СССР, ОТН, 1954, № 8.

метод для устранения вибрации одномассовых и многомассовых упругих систем, а также систем с распределенными параметрами. Однако здесь мы ограничимся рассмотрением одной из простых схем, представляющей линейную упругую систему (mi, ki), оснащенную виброгасителем ударного действия /п2, динамическая модель которой представлена на рис. 8.18. Виброгасящий элемент установлен с зазором 2г. При достаточно интенсивном возбуждении, приложенном к упругой системе, обе части системы будут двигаться с соударениями. При этом вынужденные колебания демпфируемой системы будут сопровождаться ее свободными гармоническими колебаниями, возникающими в результате соударений. Амплитуды свободных колебаний и их фазы могут быть различными после каждого из соударений, тогда движение системы будет непериодическим. В других случаях эти амплитуды и фазы периодически принимают одни и те же значения, при этом движение системы будет периодическим. Будем по-прежнему искать такие периодические движения, которые характеризуются последовательным чередованием соударений правых и левых плоскостей элементов mi и /п2. Заметим, что для рассматриваемой системы, так же как для нелинейного элемента с зазором, воз-

11. Блехман И. И., Вращение неуравновешенного ротора, обусловленное гармоническими колебаниями его оси, Известия АН СССР, ОТН, № 8, 1958.

Фазочастотная характеристика показывает, как меняется фазовый сдвиг между гармоническими колебаниями на входе в звено и колебаниями на выходе из него. Измерительная система способна функционировать без существенных искажений лишь при определенных частотах, которые характеризуют полосу пропускания.

Согласно уравнению (2.13), изображающая точка при любых начальных условиях движется по фазовой окружности по ходу часовой стрелки с постоянной скоростью, что и соответствует гармоническим колебаниям осциллятора.

Общее условие гармоничности колебаний. В большинстве случаев малые отклонения от положения равновесия приводят к гармоническим колебаниям. Но это не значит, что гармоническими колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое уравнением вида (50.3), является гармоническим независимо от малости х. Уравнение (50.3) получается из закона сохранения энергии (51.5) после дифференцирования по времени с учетом

Особое поведение линейных систем по отношению к внешней силе, изменяющейся по гармоническому закону, выражается в том, что возникшие в линейной системе вынужденные колебания, после того как они установились, также оказываются гармоническими; если же форма колебаний внешней силы отличается от гармонической, то форма колебаний смещения , отличается от формы внешней силы. Иначе говоря, вынужденные колебания в линейной системе воспроизводят без искажений только гармоническую форму колебаний внешней силы, вызвавшей вынужденные колебания; если же форма внешней силы отлична от гармонической, то вынужденные колебания воспроизводят эту форму непременно с искажениями. Эта «устойчивость формы» гармонических колебаний, проявляющаяся при их воспроизведении во всех линейных системах 1), и придает гармоническим колебаниям исключительно важное значение.

Действительно, элемент балки, расположенный в поперечном сечении, проходящем через нелинейную упругую опору, не будет совершать гармонических колебаний, а следовательно, этого не будут делать и другие, соседние с ним, элементы балки. Однако из опыта нахождения решений для одномассовых нелинейных систем, можно предполагать, что во многих случаях колебания элементов балки будут близки к гармоническим колебаниям. Можно думать, что это утверждение будет достаточно хорошо выполняться в случае слабо выраженной нелинейности в граничных условиях аналогично тому, как в одномассовых нелинейных системах колебания будут близки к гармоническим при достаточно малой величине нелинейного члена соответствующего дифференциального уравнения.

означает отсутствие демпфирования колебаний в системе, что приводит к незатухающим гармоническим колебаниям, вызванным случайными возмущениями в системе. Условие 2

Торцовое уплотнение с демпфером колебаний, предотвращающим разгерметизацию при перекосах и биениях вала, показано на рис. 16.10,6. Уплотнение включает вращающееся кольцо 5, герметично установленное на валу 6. Аксиально-подвижное кольцо 4 упруго поджимается к кольцу 5 и герметично связано с ним через втулку /, сильфон 8 и фланец 9 с корпусом 7. В кольце 4 выполнена круговая проточка, в которой установлены шарики 2, удерживаемые хомутом 3. В полости а находится уплотняемая среда. При вращении вала на различных режимах работы торцовое биение кольца 5 приводит к гармоническим колебаниям аксиально-подвижного кольца 4 с амплитудой, равной торцовому биению вращающегося кольца. Шарики воздействуют на аксиально-подвижное кольцо таким образом, что оно отслеживает биение вращающегося кольца без раскрытия, обеспечивая минимальную утечку (ширина круговой проточки, выполненной в кольце 4, больше диаметра шариков на величину 2,5—3,5 торцового биения кольца 5, определяемого осевым люфтом в подшипниках и перекосом кольца при установке на вал).

Уравнение (409) соответствует гармоническим колебаниям с периодом

амплитудами) при сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты; разрывные характеризуются сравнительно медленными изменениями состояния колебательной системы с чередованием скачкообразными состояниями; релаксационные относятся к автоколебаниям, возникающим в системах, в которых существенную роль играют диссипативные силы; свободные (происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия; пружинного маятника соответствуют прямолинейным гармоническим колебаниям под действием упругой силы; стержней, струн, столбов газа устанавливают в них стоячие волны, частота которых удовлетворяет определенным условиям; электромагнитные происходят путем периодического преобразования энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот); сложение колебаний сводится к нахождению закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах ]

2. Пульсации температур, имеющие плотность распределения колоколооб-разного вида с провалом посредине. Корреляционная функция имеет вид экспоненты с наложением гармонических колебаний. На кривой спектральной плотности имеется ярко выраженный пик. Такие характеристики имеют случайные процессы, которые представляют наложение гармонических колебаний и узкополосного гауссового случайного шума. В наших опытах такие пульсации имели место, по-видимому, при неконтролируемых изменениях расхода воды. Они соответствовали гармоническим колебаниям положения зоны перехода к ухудшенному теплообмену. Такие режимы имели место при высоких тепловых потоках, малых массовых скоростях pW.$ 500кг/м • с и низких давлениях (Р«6,87МПа). 1

По решению ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко [40] в руководствах по расчету строительных конструкций на динамические нагрузки с 1976 г. принято нормирование классов машин, оборудования и приборов по чувствительности к гармоническим колебаниям основания с помощью амплитуды скорости колебаний в диапазоне частот 1 ... 100 Гц. При этом к классу I

Покажем, что при ф> -^ система всегда приходит к гармоническим колебаниям с амплитудой ^]