Гармоническое колебание

Отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы к амплитуде гармонических вынужденных колебаний.

26. Комплексная динамическая жесткость Отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы

Рис. 17.28. Пример возникновения гармонической вынуждающей силы.

б) неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы;

Механическим импедансом называют отношение комплексной амплитуды гармонической вынуждающей силы, приложенной в некоторой точке (участке) тела, к комплексной амплитуде виброскорости в той же или другой точке тела. В вибрационной технике рассматривают также отношения силы и виброперемещения, виброускорения, а также обратные отношения. Они имеют различные наименования и в совокупности образуют семейство комплексных частотных характеристик (ЧХ) механической системы *.

Столь же просто к рассмотренной выше сводится задача о движении частицы (поступательно движущегося твердого тела) по неподвижной шероховатой плоской поверхности под действием приложенной к частице гармонической вынуждающей силыР = Р0 sin (ut, направленной под углом (3 к поверхности (рис. 16,6). В этом случае, с которым приходится встречаться в теории простейших вибрационных экипажей, ускорение колебаний Лео2 во всех приведенных ранее выражениях следует заменить величиной Р0/т.

где F0 — амплитуда гармонической вынуждающей силы; В — индукция в рабочем зазоре; D, h — основные размеры подвижной катушки.

На рис. 2 представлена типичная конструктивная схема электродинамического вибростенда без системы управления. Стенд предназначен для работы в диапазоне 5—5000 Гц и создает амплитуду гармонической вынуждающей силы до 2- 103 кгс. Вибрационный стенд выполнен по схеме, представленной на рис. 1, а гл. XVI. Электромагнит состоит из магнитопрово-да 1 и обмотки возбуждения 2. Обмотка возбуждения выполнена с принудительным водяным охлаждением. Для уменьшения потерь в рабочем зазоре магнитопровода установлены медные экраны 9, нанесенные электролитическим путем. Рабочий зазор и подвижная обмотка охлаждаются водой. Подвижная обмотка 3 выполнена без каркаса для уменьшения ширины рабочего зазора. Витки обмотки имеют прямоугольное сечение. Они склеены и присоединены к несущей части подвижной системы специальными разъемными болтами. Несущая часть подвижной системы 4 изготовлена из магниевого сплава и представляет собой коническую оболочку с ребрами. Верхняя часть является столом стенда. Изделие крепится к столу стенда через специальные резьбовые втулки б из немагнитной стали. Подвижная система представляет собой весьма жесткую конструкцию, обеспечивающую проведение испытаний в широком диапазоне частот. Упругие элементы (подвеска) состоят из двух текстолитовых мембран 7 с пазами, расположенными по окружностям различного радиуса. Для компенсации прогиба от силы тяжести при испытаниях изделий различной массы применены пневмокамеры 8. При повышении давления в пневмо-камерах общая жесткость подвески увеличивается. Пневмокамеры также увеличивают демпфирование колебаний нижней мембраны, что имеет значение при испытаниях на низких частотах.

Каждый коэффициент передачи как комплексное число находят опытным путец на заданной частоте гармонической вынуждающей силы (определяют модуль и фазу или действительную и мнимую часть).

Механическим импедансом системы Z (т)) или просто импедансом называют отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде скорости при установившихся вынужденных колебаниях:

поддержанные гармонической вынуждающей силой. Для нормального функционирования виброизоляционной системы возможность возникновения в ней субгармонических резонансов должна быть исключена. Условия возникновения субгармонических резонансов рассматривались в гл. V т. 2. Подавление этих периодических режимов достигается увеличением диссипации в системе. Для определения уровня диссипации, необходимого для подавления в системе (2а) субгармонических колебаний частоты co/S, требуется сначала определить амплитуды первой и s-й гармоник периодического решения уравнения (27), имеющего частоту А. = = co/S, Это решение можно разыскивать в виде ряда Фурье:

Итак, при движении консервативной системы в окрестности положения устойчивого равновесия (соответствующего по условию минимуму потенциальной энергии) каждая из главных координат совершает около положения равновесия гармоническое колебание с одной из собственных частот.

т. е. в системе реализуется /1-е главное колебание. Наоборот, ни при каких начальных данных в системе не может быть реализовано гармоническое колебание, частота которого не являлась бы одной из собственных частот. Поэтому если каким-либо образом удается указать начальные данные, при которых в системе реализуется некоторое гармоническое колебание, то расчет системы при этих начальных данных позволяет определить одну из собственных частот. Этот прием иногда позволяет найти все собственные частоты системы.

Из этих выражений видно, что возмущенное движение по каждой координате представляет собой гармоническое колебание (нутационные колебания) *). Если <о достаточно велико, то амплитуды этих колебаний малы.

Величина х в (50.10) является комплексной и не может давать реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной х вида (50.6). Однако мнимая часть этой величины может рассматриваться как действительное гармоническое колебание (50.6), выражаемое синусом. С другой стороны, действительная часть (50.10), равная Лсо5(со/--ф), также представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому гармоническое колебание можно записать в форме (50.10) и производить .необходимые расчеты и рассуждения..

с угловой скоростью со . Амплитуда колебания достигает максимального значения при ф2 = ф, и равна Л, + Л2. Минимальное значение амплитуды получается при ф2 —ф, = ±л. В этом случае кбмплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна Л2— A\\. Поведение фазы ф также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рис. 146. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми формулами (50.13aJ и (50.136).

Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку юа — coi2»co, то вся картина быстро вращается вокруг начала координат, причем за один оборот взаимное расположение векторов х\ и х% меняется совершенно незначительно. Поэтому в течение большого числа периодов это есть гармоническое колебание с частотой о) и амплитудой, равной амплитуде х\ -\- Х2. Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка векторов jci и *2 меняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется с частотой о>2— toil от А\-\-А% до \А\ —АЧ\. В итоге получаем, что суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с частотой
Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости D, а свойства точки — ее массой m; co = D/m.

Таким образом, зная начальные условия, можно полностью найти гармоническое колебание.

При е = 0, т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармонические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет вид

амплитудами представляет собой также гармоническое колебание с той же частотой, но новой фазой и амплитудой:

что такое «гармоническое» колебание, амплитуда которого меняется со временем (пускай даже по гармоническому закону), не является гармоническим колебанием, и поэтому спектр модулированного колебания содержит больше чем одну составляющую. Это колебание является, вообще говоря, и непериодическим, поскольку частоты трех составляющих его гармоник в общем случае не кратны.