Гармонического колебания

где Ф* (со) — спектральная плотность "входа"; Фу (со) — спектральная плотность "выхода"; Я (г со) —частотная характеристика системы, представляющая собой реакцию системы на единичное гармоническое воздействие с частотой со.

Для линейной колебательной системы справедлив принцип суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий; как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями, пояснив их на конкретных примерах.

Разложив периодическое воздействие в гармонический ряд, мы сразу сможем ответить на вопрос о том, как будет вести себя гармонический резонатор, находящийся под этим воздействием. Каждая из гармонических составляющих будет вызывать такой эффект, как если бы другие составляющие отсутствовали (принцип суперпозиции). Но мы уже знаем, что гармонический резонатор особенно сильно отзывается на такое гармоническое воздействие, на которое он «настроен», т. е. частота которого близка к собственной частоте резонатора. Из всех гармонических составляющих внешнего воздействия только эта составляющая вызовет сильные колебания резонатора. Все остальные гармонические составляющие не вызовут заметных колебаний резонатора, так как их частоты значительно отличаются

Искомые переменные системы уравнений - это элементы вектора узловых перемещений U, которые в любой момент времени должны удовлетворять условиям равновесия системы при наличии сил инерции и рассеяния энергии. Решение этой системы уравнений выполняется либо прямым методом Ньюмарка, либо методом суперпозиции форм колебаний. К такому типу анализа относятся: динамика переходных процессов, модальный анализ, отклик на гармоническое воздействие, спектральный анализ и отклик на случайную вибрацию.

Большой интерес для практики представляет установившаяся реакция машинного агрегата на обобщенное гармоническое воздействие типа Мс (t) = elki, которое по формуле Эйлера можно представить в виде eikt = cos kt -\- i sin kt. Эта реакция позволяет выяснить, как машинный агрегат реагирует на возбуждающие колебания различной круговой частоты k.

Шарик, прыгающий со ступеньки на ступеньку,— вот, пожалуй, простейшая виброударная система, которую можно себе представить (рис. 7.17, а). Мы несколько усложним эту схему, считая, что к шарику, помимо веса G*, приложено гармоническое воздействие Р* cos со/ и сила линейного трения, равная — С*х* (С* >0).-(Здесь звездочки Рис. 7.17.

1) реакция элемента на гармоническое воздействие может иметь частотный спектр, включающий все гармоники;

Соответствующая гармоническому возмущению реакция объекта называется частотной переходной функцией. Последняя может быть разложена на неустановившуюся составляющую и вынужденные колебания, в линейном объекте имеющие ту же частоту, что и вызывающее их возмущение. Неустановившаяся составляющая характеризует начальный этап переходного процесса; со временем она затухает. Вынужденные же колебания существуют, пока приложено гармоническое воздействие.

На вход системы подается гармоническое воздействие вида х = Ах5та){, которое, пройдя через линейный элемент или систему, даст на выходе также гармонический сигнал у = = Лу5ш(со/ + гз), отличающийся лишь амплитудой и фазой.

При подобном методе исследования на управляющий элемент подается гармоническое воздействие х = а(\—соз со/) (рис. 16, г).

Колебания иа дороге с неровной поверхностью. Рассмотрим вначале движение по дороге с микропрофилем из синусоидальных неровностей. Такая дорога редко встречается в действительности, однако ее часто используют в расчетах и при испытаниях. Это объясняется гем, что гармоническое воздействие позволяет быстрее проанализировать колебания автомобиля, оценить соотношение параметров, сравнить автомобили независимо от особенностей микропрофиля дороги или перевозимого груза и дать оценку колебаниям автомобиля при наиболее неблагоприятных условиях возмущения.

Создавая нормированное гармоническое воздействие Gfl (t) = G0 cos со/ и измеряя соответствующую установившуюся реакцию ХА (t) = а0 cos (<$( + ф). экспериментально снимают частотные характеристики объекта:

Коэффициентом поглощения гз (или относительным гистерезисом) называют отношение энергии И/, рассеиваемой за один период гармонического колебания, к максимальной упругой энергии U:

График этой функции с обозначением входящих в (50.6) величин показан на рис. 143. Величина А называется амплитудой, оз — частотой гармонического колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), ы/ + ф — фазой колебания. Значение фазы ф при ^ = 0 называют начальной фазой или просто фазой. Как видно из (50.6), значение к повторяется через проме-

График гармонического колебания в комплексной форме (50.10) изображен на рис. 145. Значение различных величин, входящих в формулу (50.10),

Итак, особым свойством гармонических колебаний является их способность воздействовать на гармонические резонаторы, настроенные на частоту данного гармонического колебания. Однако этим далеко не исчерпываются все важные свойства гармонических колебаний. По отношению к гармоническому внешнему воздействию специальным образом ведут себя не только линейные колебательные системы (гармонические резонаторы), но и гораздо более широкий класс линейных механических систем (не только колебательных, но и апериодических). Сочетание гармонического воздействия и свойств линейной системы приводит к тому, что результат этого воздействия отличается характерными особенностями, неповторяющимися нив каком случае негармонического воздействия на линейную или нелинейную систему. Эти особенности касаются формы колебаний.

С другой стороны, полоса резонанса тем уже, чем меньше затухание, т. е. чем больше т. Поэтому, чем уже полоса резонанса системы, тем длиннее должен быть «отрезок синусоиды», чтобы форма ее воспроизводилась без искажений. И наоборот, чем шире полоса резонанса, тем короче может быть «отрезок синусоиды», форма которого воспроизводится еще без искажений. Это свидетельствует о том, что по мере увеличения продолжительности действия непериодической силы (длины «отрезка синусоиды») возрастает плотность амплитуд в полосе частот, близких к частоте, соответствующей периоду Т того гармонического колебания, частью которого является отрезок синусоиды.

ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА - выражает зависимость амплитуды, фазы, чувствительности или к.-л. параметра линейной динамической системы от частоты поступающего на её вход гармонического колебания. Различают амплитудно-частотную характеристику, фазочастотную характеристику и т.д.

Коэффициентом поглощения г) (или относительным гистерезисом) называют отношение энергии W, рассеиваемой за один период гармонического колебания, к максимальной упругой энергии U:

1 — приближение прямоугольной потенциальной ямы; 2 —приближение простого гармонического колебания: 3 — межмолекулярный потенциал

Дли опасности вибрации, связанной с возможностью накопления усталостных повреждений в конструкции, оценка R-, завышена. Оценка R^ является эквивалентной амплитудой гармонического колебания, при воздействии которого для однотипных конструкций обеспечивается та же или несколько

В предыдущих разделах нами рассматривались некоторые свойства простого гармонического колебания, которые будут полезны нам в дальнейшем при рассмотрении поляризованного света.

Кривошипно-кулисный механизм с поступательно-движущейся кулисой (фиг. 41). При равномерном вращении кривошипа движение ползуна происходит по законам гармонического колебания.