Глобального экстремума

С единой точки зрения анализ различных задач оптимального проектирования конструкций был проведен Прагером и Тэйлором [4]. Используя соответствующие вариационные принципы, они вывели для слоистых конструкций условия оптимальности в виде дифференциальных уравнений для оптимальных полей перемещений, не содержащих параметров конструкций. В дальнейшем Прагером [5] был предложен общий метод установления достаточных условий глобальной оптимальности для более широкого класса задач оптимального проектирования конструкций').

Предлагаемая книга основана на небольшом курсе из шести лекций, прочитанном В. Прагером в Международном центре по механике в г. Удине (Италия) в 1974 г. для молодых ученых, специализирующихся в данной области. В ее первой части излагаются экстремальные принципы для линейно-упругих и идеально пластических конструкций и далее на их основе выводятся необходимые и достаточные условия глобальной оптимальности. Применения общей теории иллюстрируются простейшими примерами, относящимися главным образом к проектированию трехслойных упругих балок, податливость которых подчинена одному или нескольким ограничениям.

Первые три главы содержат вывод необходимых и достаточных условий глобальной оптимальности, основанный на экстремальных принципах механики деформируемых сред. Очертание проектируемой конструкции предполагается при этом заданным. Остальные три главы посвящены оптимизации очертания конструкций.

где интегрирование распространено на /-и участок, #;-i^ ^x^,vb сумма — на все участки. Чем меньше податливость, тем более жесткой будет конструкция. Поэтому имеет смысл проектировать конструкцию минимального веса с заданной податливостью. Выведем теперь необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности для этой задачи.

Действуя так же, как в случае (а), легко получить следующее необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности: _

Как указали Прагер и Тэйлор [6], процедура, с помощью которой были получены условия оптимальности (2.14) и (2.34), может быть использована всякий раз, когда ограничения относятся к величине, например податливости, которая характеризуется минимальным принципом (например, использованным выше принципом минимума энергии деформации). Условие, полученное таким путем, является необходимым и достаточным для глобальной оптимальности при условии, что минимальная характеризация каждой ограниченной величины имеет глобальный характер. Проиллюстрируем эти замечания следующими примерами.

Применение теоремы Фаркаша к неравенствам (3.22), (2. 1 1) — (2.13) приводит в конечном счете к следующему необходимому и достаточному условию глобальной оптимальности проекта Ci\ _

мы получаем необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности для проекта Vt в виде

В общем случае 5з будет содержать часть 5з, лежащую на SQ. Если обозначить через S3' остальную часть поверхности S, то достаточными условиями для глобальной оптимальности проекта В будут следующие:

которое, согласно (4.6), исключает возможность того, что проект т*ГЙ может иметь меньшую стоимость, нежели проект т„А< Мы получим следующее достаточное условие глобальной оптимальности проекта ti/fe: __

Условие (4.11), достаточное для глобальной оптимальности, является также необходимым. Действительно, можно показать, что, когда rijk и t*jk представляют собой близкие проекты, неравенства (4.8) и (4.10) переходят в равенства.

Для более детального исследования множества допустимых решений (выделение глобального экстремума) метод ЛГЬ-поиска может быть дополнен, например, исследованием специально сконструированной функции, представляющей собой свертку частных критериев в один глобальный.

При описании комплексной целевой функции нелинейными зависимостями от внутренних параметров задача оптимизации решается методами линейного программирования; если же целевая функция является линейной функцией от внутренних параметров, то имеет место задача линейного программирования. В общем случае целевая функция может иметь несколько экстремумов, отличающихся по абсолютной величине. В зависимости от типа экстремума, в котором заканчивается поиск оптимального решения, различают методы поиска локального и глобального экстремума. Если на значение определяемых параметров наложены некоторые ограничения, то решение задачи синтеза механизмов осуществляется методами условной оптимизации. В противном случае (при отсутствии ограничений) при синтезе механизмов для поиска значений определяемых параметров используют методы безусловной оптимизации.

Вообще задачи условной оптимизации более сложны, чем задачи безусловной оптимизации. Для их решения используют специально разработанные методы программирования с ограничениями. Одним из таких методов, которые относятся к методам поиска глобального экстремума, является метод сканирования, состоящий в том, что допустимая область поиска, определяемая системой ограничений, разбивается на k подобластей, в центре каждой из которых определяется значение целевой функции. Если целевая функция зависит от п параметров, необходимо выполнить kK вариантов расчета. Для надежного определения глобального минимума необходимо увеличивать число k подобластей, что приводит к большим затратам машинного времени.

3. Методы локальной оптимизации. Эти методы успешно используются для поиска локальных экстремумов в метризованных пространствах. К сожалению, велика вероятность «застревания» текущей точки на траектории поиска вдали от глобального экстремума. Чтобы уменьшить эту вероятность, применяют поиск с запретами (tabu search), в котором запрещается переход в некоторые точки, в том числе в точки, пройденные на нескольких последних итерациях поиска. Спуск происходит в лучшую из пройденных на очередной итерации точек, даже если эта точка хуже результата предыдущей итерации. Тем самым облегчается выход из локальных экстремумов.

5. Генетические алгоритмы и методы отжига. Генетические алгоритмы относятся к наиболее универсальным подходам к решению сложных задач структурного синтеза и подробно обсуждаются далее. Методы отжига можно рассматривать как реализацию идеи повышения вероятности определения глобального экстремума в других статистических методах оптимизации, таких, как генетические или локальные методы поиска,

Обозначим через у = f (bt, t) трендовую кривую, описываемую нелинейным уравнением с неизвестными коэффициентами bt (i = 1, 2, ..., k, где k — число коэффициентов). Исходя из требований метода наименьших квадратов, необходимо определить неизвестные коэффициенты bt так, чтобы достигался минимум остаточной суммы квадратов (2.1). Для определения минимума функционала (2.1) можно использовать метод поиска глобального экстремума [38].

чи оптимального проектирования должно быть определение сравнительно узкой области, где находится глобальный экстремум. Другими словами, следует сначала «прощупать» все пространство допустимых значений конструктивных параметров и грубо оценить место расположения глобального экстремума. После этого его более точное значение можно найти с помощью локальных методов.

На первом этапе используются методы случайного или детерминированного поиска. Они состоят в том, что в пространстве допустимых параметров берутся N точек и для каждой из них вычисляется значение функции качества. Выбираются, таким образом, N конкретных вариантов исследуемой конструкции и прямым перебором этих вариантов находится наилучший; при этом считается, что он находится поблизости от искомого оптимального варианта (вблизи глобального экстремума). В методах случайного поиска, называемых также методами Монте-Карло, Л; пробных точек в пространстве параметров выбираются случайным образом [77, 267], В методах детерминированного поиска ./V точек заполняют исследуемое пространство параметров в определенном смысле равномерно [285]. Опыт показывает, что при небольшом числе испытаний N более эффективны методы детерминированного поиска. Один из таких методов, так называемый метод ЛП-поиска, оказался эффективным при решении многих задач динамики машин [22, 146].

Метод поиска глобального экстремума функции качества при линейных ограничениях. Для оптимизации параметров теплообменных аппаратов весьма эффективным оказался метод поиска глобального экстремума, разработанный в Институте систем управления АН ГрузССР [5.41].

Сущность метода, идея которого принадлежит В. К- Чичинадзе [5.24], заключается в преобразовании оптимизируемой функции с помощью равномерно распределенной случайной выборки точек в многомерном пространстве параметров в монотонно убывающую одномерную функцию, нулевое значение которой соответствует величине глобального экстремума. Такой подход позволяет с достаточной точностью предсказать значение

функции в глобальной точке и с приемлемой вероятностью выделить область притяжения глобального экстремума.