Гармонического захватывания

Таким образом, частотная характеристика, введенная ранее, выступает теперь в новой роли:-фурье-преобразование функции д/ в случае представимой интегралом Фурье силы Qf (t) получается умножением фурье-преобразования этой силы на соответствующую частотную характеристику системы Wy (г'О). В случае гармонического воздействия частотная характеристика связывает комплексные амплитуды воздействия и возникающего вынужденного движения, а в случае непериодического воздействия эта же частотная характеристика таким же образом связывает комплексные спектры воздействия и возникающего в результате движения.

Итак, особым свойством гармонических колебаний является их способность воздействовать на гармонические резонаторы, настроенные на частоту данного гармонического колебания. Однако этим далеко не исчерпываются все важные свойства гармонических колебаний. По отношению к гармоническому внешнему воздействию специальным образом ведут себя не только линейные колебательные системы (гармонические резонаторы), но и гораздо более широкий класс линейных механических систем (не только колебательных, но и апериодических). Сочетание гармонического воздействия и свойств линейной системы приводит к тому, что результат этого воздействия отличается характерными особенностями, неповторяющимися нив каком случае негармонического воздействия на линейную или нелинейную систему. Эти особенности касаются формы колебаний.

Роль акустического резонатора может играть всякий объем воздуха, ограниченный стенками и обладающий поэтому собственными частотами колебаний, например кусок трубы конечной длины. Однако такой кусок трубы обладает множеством нормальных колебаний и поэтому будет резонировать на множество гармонических колебаний. Удобнее, конечно, применять такие резонаторы, которые отзываются на одну определенную частоту внешнего гармонического воздействия. Такими свойствами обладают, например, сосуды шаровой формы с горлом (рис. 468) — так называемые резонаторы Гельмгольца.

Воспользовавшись введенными обозначениями для безразмерных параметров и заменив оператор р значением ik (где i = V — 1; k — частота гармонического воздействия), найдем модули выражений F2 (ik) и F12 (ik), представляющие собой искомые амплитудные характеристики

можно использовать формулы (VII. 185), (VII. 198) и кривые (см. рис. VI 1.6) коэффициентов передачи гармонического воздействия, соответствующего главной координате.

При передаче гармонического воздействия с массы М на массу УИф перепад уровней вибрации на амортизаторах

двухпозиционный распределитель датчиком 6 гармонических колебаний давления (рис. 3.49), способным в широких пределах изменять частоту и амплитуду вносимых возмущений. Вариации частот получают через промежуточную регулируемую передачу (гидромотор, вариатор и т. д.). Датчик может приводиться в движение синхронным электродвигателем 7 (рис. 3.49). Для регулирования амплитуд вносимых возмущений предусмотрено два параллельных дросселя 8 к 9. При подаче на вход исследуемого аппарата гармонического воздействия рх = A sin at на выходе через некоторый промежуток времени возникнут, если исследуемый аппарат линейный, колебания с некоторым сдвигом фазы ф и иной амплитуды В (рис. 3.50):

Экспериментальное определение частотных характеристик следящего привода производится путем подачи на вход следящего привода гармонического воздействия. Обычно это осуществляется эксцентриковым кулачком (или кривошипным механизмом). Подобное устройство показано на рис. 17, где кулачок 3' воздействует на золотник 2. Изменением числа оборотов кулачка достигается переменная частота воздействия (см. гл. IV).

Задающее колебательное движение синусоидальной формы. Упоминавшийся в предыдущей главе, широко применяемый метод синусоидального гармонического воздействия позволяет получить амплитудную и амплитудно-фазовую частотные характеристики системы, по которым можно определить передаточную функцию системы и ряд других ее характеристик, а также судить об устойчивости системы.

Определение амплитудной характеристики в заданном режиме производят путем измерения коэффициента преобразования в заданном диапазоне амплитуд гармонического воздействия (или однократного сигнала) при постоянной частоте (или длительности фронта импульсного воздействия). Число уровней п входной величины обычно принимают из расчета одного уровня на каждые 10 дБ амплитудного диапазона:

Распространенным источником гармонических воздействий являются неуравновешенные детали механизмов, вращающиеся или движущиеся поступательно по гармоническому закону. В некоторых случаях амплитуда и частота гармонического воздействия могут принимать различные значения в зависимости от режима работы источника; например, ротор двигателя может иметь различную скорость вращения при различных рабочих режимах. Силовые воздействия на корпус двигателя, вызванные неуравновешенностью ротора, будут иметь частоту, равную угловой скорости, а их амплитуда (в случае жесткого ротора) пропорциональна квадрату угловой скорости.

Была получена зависимость ж=/ (v) для и=йг=1,14 и f=0. При этих параметрах в системе отчетливо наблюдаются две зоны захватывания автоколебаний: зона гармонического захватывания (v да со) и зона субгармонического захватывания второго порядка (v да 2 со). В зоне субгармонического захватывания резонанс выражен сильнее и зона синхронизации шире, чем в зоне гармонического захватывания. В левых и правых окрестностях зон захватывания наблюдается модуляция амплитуды. Зоны почти периодических колебаний, которые вырождаются из соответствующих захватывающих колебаний, расположены как между областями захватывания, так и до (v да со) и за (v да 2 со) областями захватывания. По мере приближения к областям захватывания глубина модуляции max х \ усиливается. На зависимости x—f (v) хорошо заметен переход почти периодических колебаний, вырождающихся из гармонических колебаний в почти периодические колебания, которые вырождаются из субгармонических колебаний второго порядка при увеличении частоты v. Аналогичная зависимость была получена для м=1,2 и у=0. Отличие состоит лишь в величине тахж, которая при соответствующих частотах оказывается меньше величины тахж, соответствующей м=1,14. Рис. 1 записан при Ь=0,2, ц=1,28 и f=0. Значение скорости и соответствует восходящему участку функции Т (U). При этих параметрах резонанс резко выражен в области гармонического захватывания. В области субгармонического захватывания второго порядка резонанс выражен довольно слабо. Из рисунка видна область ультрагармонических колебаний второго порядка (2v да ш); эти колебания выражены сильнее, чем субгармонические колебания соответствующего порядка. После прохождения зоны гармонического захватывания наблюдается модуляция амплитуды, которая убывает с ростом частоты.

В области почти периодических колебаний зависимость ж= =/ (и) имеет вид, показанный на рис. 5, б. Запись сделана при v=2,05 и у=0. Как видно, почти периодический характер колебаний выражен также в плоскости (х, Q). На верхней полуплоскости при U <^ 0 участок зависимости ж=/ (и) почти линейный, а в области U >0 скорость х имеет характер убывающих биений (два резко выраженных пика, третий пик достаточно слаб). Следует отметить, что с увеличением расстройки по частоте о>—v/2 частота биений увеличивается (число пиков увеличивается) и зависимость x=f (Q) сглаживается. Рис. 5, б соответствует в плоскости (х, v) области почти периодических колебаний, примыкающей к правой границе зоны субгармонического захватывания. В левой окрестности зоны резонанса имеют место аналогичные рисунки.

Была получена зависимость x=f (и) в области гармонического захватывания при у=0 и v=l, сравнение которой с зависимостью на рис. 5, а показывает, что область существования периодических колебаний (диапазон скоростей и) для зоны гармонического захватывания шире, чем для зоны субгармонического захватывания второго порядка. Осуществлялась также запись, отражающая почти периодические колебания в плоскости (х, и) при v=0,9, у =0. При v=l,l и ?=0 имеет место аналогичная запись. По мере увеличения расстройки ш — v период почти периодических режимов уменьшается.

В области гармонического захватывания наблюдалась аналогичная ситуация. Представление об этом дает рис. 6, в, записанный при т=0, v=l и \N\ =0,144. Начальные условия те же, что и на рис. 6, я. Сравнение рис. 6, а и в показывает, что в области гармонического захватывания после срыва колебаний (убывание х) система переходит в новый стационарный режим, характеризуемый колебаниями с конечной амплитудой, чего не наблюдается в области субгармонического захватывания. Специфика обратного прохождения в области гармонического захватывания аналогична специфике области субгармонического захватывания.

На рис. 7, а представлена осциллограмма, записанная при у=0, v=2, Af0=2,5 и 7V=1,14; она соответствует режиму субгармонического захватывания второго порядка и области положительных относительных скоростей f/^>0. Осциллограмма, показанная на рис. 7, б, записана при тех же параметрах, однако в данном случае М0=2, что соответствует области отрицательных относительных скоростей (U <^ 0).

Режим почти периодических колебаний, соответствующий левой окрестности зоны субгармонического захватывания второго порядка и области U > 0, показан на рис. 8, а, он получен при 7=0, v=l,9, 1^1=1,14 и М0=2,5. Из рисунка видны почти периодические колебания скорости источника ф в соответствии с почти периодическими колебаниями х, что обусловлено взаимодействием источника и колебательной системы. В правой окрестности области захватывания имели место аналогичные колебательные режимы.

Колебания в области гармонического захватывания представлены осциллограммой, показанной на рис. 8, в и записанной при параметрах у=0, v=l, ЛП=1,14 и М0=2. Режим соответствует области отрицательных относительных скоростей U < 0. При^этих же параметрах, однако для v=0,9, получена осциллограмма, которая подобна осциллограмме на рис. 8, б и соответ-

ствует левой окрестности зоны гармонического захватывания. В правой окрестности этой зоны имели место аналогичные осциллограммы.

На рис. 1, а представлена зависимость ж=/ (v), которая записана при у=0,2 и и = fir—1,14. Стрелка под рисунком показывает направление прохождения (изменение частоты). На рисунке отчетливо видны ультрагармонические колебания второго порядка (2v ?& со), гармонические (v ?» со), ультрасубгармонические порядка 3/2 (v^3/2u>), субгармонические второго порядка (v «* 2 со). Довольно слабо выражены ультрасубгармонические колебания порядка 6/а (v да 6/2ш)- В области гармонического захватывания резонанс выражен достаточно сильно; сама область окружена зонами (слева и справа) почти периодических колебаний, вырождающихся из гармонических колебаний. .На рис. 1, б—е показаны осциллограммы выше указанных колебаний. Для сравнения рядом с осциллограммами х показан график' периодического воздействия A sin vt.

При достаточно малых значениях амплитуды периодического воздействия А в области отрицательных относительных скоростей U < 0 и области захватывания выполняется приближенное равенство а т& u/v. G уменьшением величины и степень нарушения этого равенства увеличивается. Была получена зависимость x=f (v), записанная при Х=0,2, у=0, м=0,5. При этом значении амплитуды периодического воздействия резонанс оказывается настолько мощным, что пробивает ограничение, выраженное приближенным соотношением а да и/v; это соотношение перестает выполняться. В окрестностях зоны гармонического захватывания возникают сильно выраженные почти периодические режимы колебаний, вырождающиеся из гармонических колебаний.

Была получена зависимость ж=/ (v) для и=йг=1,14 и f=0. При этих параметрах в системе отчетливо наблюдаются две зоны захватывания автоколебаний: зона гармонического захватывания (v да со) и зона субгармонического захватывания второго порядка (v да 2 со). В зоне субгармонического захватывания резонанс выражен сильнее и зона синхронизации шире, чем в зоне гармонического захватывания. В левых и правых окрестностях зон захватывания наблюдается модуляция амплитуды. Зоны почти периодических колебаний, которые вырождаются из соответствующих захватывающих колебаний, расположены как между областями захватывания, так и до (v да со) и за (v да 2 со) областями захватывания. По мере приближения к областям захватывания глубина модуляции max х \ усиливается. На зависимости x—f (v) хорошо заметен переход почти периодических колебаний, вырождающихся из гармонических колебаний в почти периодические колебания, которые вырождаются из субгармонических колебаний второго порядка при увеличении частоты v. Аналогичная зависимость была получена для м=1,2 и у=0. Отличие состоит лишь в величине тахж, которая при соответствующих частотах оказывается меньше величины тахж, соответствующей м=1,14. Рис. 1 записан при Ь=0,2, ц=1,28 и f=0. Значение скорости и соответствует восходящему участку функции Т (U). При этих параметрах резонанс резко выражен в области гармонического захватывания. В области субгармонического захватывания второго порядка резонанс выражен довольно слабо. Из рисунка видна область ультрагармонических колебаний второго порядка (2v да ш); эти колебания выражены сильнее, чем субгармонические колебания соответствующего порядка. После прохождения зоны гармонического захватывания наблюдается модуляция амплитуды, которая убывает с ростом частоты.