Гармоники разложения

где fn — частота, соответствующая гармонике п. Как видно из формулы (2.51), для измерения толщины ОК из материала с известной скоростью звука с нужно знать резонансную частоту /„ и номер гармоники колебаний п.

Расчет АФЧХ в диапазоне до 100 Гц, в котором заключены практически все основные гармоники колебаний несущей системы станка мод. КУ-38 проводился отдельно для нескольких интер-

Следует отметить, что гармоники колебаний именно этого диапазона определяют динамическую прочность элементов машин и несут с собой подавляющую долю колебательной энергии; более того, эти колебания хорошо распространяются на большие расстояния из-за слабого демпфирования. Эти обстоятельства делают данный диапазон наиболее важным, и ему в книге уделено наибольшее внимание.

Расчет АФЧХ в диапазоне до 100 Гц, в котором заключены практически все основные гармоники колебаний несущей системы станка мод. КУ-38 проводился отдельно для нескольких интер-

Таким образом, из рассмотрения экспериментальных и теоретических работ по устойчивости следует, что линейная теория неустойчивости позволяет определить границы устойчивого течения. Поскольку уравнения движения Навье-Стокса содержат нелинейные члены, проблема устойчивости в общем случае должна рассматриваться как нелинейная. Влияние нелинейности при развитии возмущений конечной амплитуды сводится в основном к двум факторам. Во-первых, появляются гармоники колебаний более высоких порядков, чем основная, в результате чего происходит перераспределение энергии между этими гармониками и осредненным течением; во-вторых, напряжение Рейнольдса приводит к изменению исходного профиля скорости.

3. Гидравлические следящие приводы не пропускают высшие гармоники колебаний и обладают свойством фильтровать эти колебания.

Результаты моделирования представлены в виде графиков переходных процессов скорости нагрузки и давлений в полости силового цилиндра для пяти значений сигнала управления и двух значений массы нагрузки. Эти графики переходных процессов изображены на рис. 6.14 и 6.15. Кроме того, в результате моделирования были получены частотные характеристики дроссельного привода (рис. 6.16, 6.17 и 6.18), которые отражают связь амплитуды и фазы первой гармоники колебаний скорости нагрузки с амплитудой и фазой гармонических колебаний зо-л_отника при трех различных по величине входных амплитудах (х = 0,16; 0,5 и 1) и двух массах нагрузки.

Рис. 13-28. К выделению первой гармоники колебаний на выходе объекта.

Следовательно, рассмотрение в первом приближении показывает, что центробежная сила, развиваемая качающимся маятником, вызывает, во-первых, появление второй гармоники колебаний исполнительного органа, причем амплитуда второй гармоники перемещения, определяемая (20), невелика по сравнению с амплитудой первой гармоники, так как амплитуда угла качания маятника мала; во-вторых, определяемое (21) смещение среднего положения колеблющегося исполнительного органа, которое может быть не малым, если мал коэффициент жесткости сх. В первом приближении мы не рассматривали обратного влияния колебаний исполнительного органа на качания маятника. Дальнейшие приближения показывают, что как колебания исполнительного органа, так и качания маятника складываются из бесконечного ряда гармоник, амплитуды которых быстро убывают с возрастанием номеров гармоник.

Измерение форм собственных колебаний (консервативной системы) практически осуществляют измерением распределения Re "qa или Im q0 для первой гармоники колебаний на резонансной частоте, хотя в более простых случаях, когда не требуется большой точности, можно измерять и распределение значений модуля сигнала qa или д„. При фазовом сдвиге ф = 8° разница Im д„ и оа составляет ~1 %, при ф = = 24° ~ 10 %. Анализ по первой гармонике позволяет устранить влияние искажений формы сигнала, вызванных нелинейностью или иными причинами, на результаты измерений посредством выделения составляющих для основной частоты колебаний и осуществляется способом синхронного детектирования.

Для неавтономных источников энергии, возбуждающих колебания фиксированной частоты (типа электромагнита, см п 6), полезно ввести величину, количественно характеризующую взаимодействие. Предположим, что следует провести анализ первой гармоники колебаний. Пусть имеется только одна переменная j. Обозначим через F амплитуду первой гармоники силы Qb генерируемой источником возбуждения, а через /% — ту же величину, но вычисленную без учета взаимодействия, т. е. при

Измерение форм собственных колебаний практически осуществляется измерением распределения Д,4о или /ю<7о ДЛЯ первой гармоники колебаний на резонансной частоте. В случаях, не требующих большой точности, можно измерять и распределение значений модуля сигнала q или q$. Анализ по первой

где г — порядковый номер гармоники разложения.

Для симметричных компонент n-й гармоники разложения по угловой координате р согласно (4.49), (4.50), (4.57) получим следующие выражения:

подразумевая при этом, что полученная запись справедлива как для симметричных, так и для кососимметричных составляющих п-й гармоники разложения.

где (tn}s = [С ]*{*„}; {Pn}s = [С ]т {/>„}; (Kn]s = (СГ (Кп) 1C]. Дальнейшее объединение ансамбля элементов, формирование геометрических граничных условий и решение разрешающей системы уравнений выполняется с помощью стандартных процедур МКЭ (см. § 3.8). В случае осесимметричного нагружения деформирование и решение системы осуществляются один раз для нулевой гармоники разложения п = 0. При неоседимметричном нагружении общего

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для n-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение An. Критическое значение параметра нагружения Л* определяется как наименьшее из всех An, т.е. Л* =min{]A^}. Соб-

В случае задания геометрических граничных условий будем иметь б {X?,} = 0, б {Х?} = 0, то соответствует: при а = О {Х„} = = {Xjn(; при а = Л{Х2} = {Х?„} ({Xjn}, (X^J - гармоники разложения заданных обобщенных торцевых перемещений).

Полученные уравнения (4.128), (4.129) и условие связи (4. 112) записанное для n-й гармоники разложения:

Окончательный вид вариационной формулировки (4.138) для n-й гармоники разложения можно представить следующим образом: д

С учетом соотношений упругости (4.159) и разложения деформаций в тригонометрические ряды (4.152) последовательно выполним интегрирование по координате р и по площади шпангоута Fr, после чего получим для п-и гармоники разложения

где [Кц]3; (Кц],,; [/(/;L; [/С// ]s — блоки матрицы жесткости оболочечного элемента для n-й гармоники разложения. Так как для узла сопряжения i обобщенные перемещения оболочки [Xln\s определяются через обобщенные перемещения шпангоута \Х1п\г [см. (4.153) и (4.155)]:

Здесь n — номер гармоники разложения; {Хп}, ..., {Yn} — векторы, представляющие амплитудные значения соответствующих гармоник разложения. . _ * '