Гауссовских стационарных

Предварительные замечания. Вероятностные (стохастические) модели вводят для того, чтобы отразить частотные закономерности, проявляющиеся при неповторимости результатов экспериментов. Случайный (вероятностный, стохастический) процесс представляют в виде бесконечного и непрерывного множества (ансамбля) реализаций. Вероятностная модель требует задания распределения вероятностей на множестве реализаций (см том 1, гл. XVII). В математической теории случайных процессов особое внимание обращается на возможность построения полных моделей (в частности, стационарных гауссовских процессов), для которых любые вероят постные характеристики могут быть выражены через несколько основных [9]. Однако для практических приложений в первую очередь представляют интерес немногие характеристики, в частности, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Чаще всего используют три основных типа моделей случайных процессов.

Вычисляя интеграл в формуле (4.91), для Гауссовских процессов получаем

Для Гауссовских процессов совместную плотность второй и третьей производных и совместную плотность распределения процесса и его второй и третьей производной при второй производной, равной нулю, можно записать в следующем виде:

где чертой сверху показана операция усреднения. Для Гауссовских процессов

Для Гауссовских процессов, заданных корреляционной функцией или спектральной плотностью, метод схематизации удобно назначать по величине отношения среднего числа экстремумов к среднему числу нулей. Если' это отношение мало отличается от единицы, то за метод схематизации следует принимать (как наиболее простой) метод пересечений, или метод экстремумов. Если это отношение значительно больше единицы, то за методы схематизации следует принимать такие методы, которые дают результаты, наиболее близкие к экспериментальным. К таким методам в первую очередь относится метод полных циклов [14].

Подставляя соотношение (4.92) для п (<т) при S0 = 0 в формулу (5.37) получаем для Гауссовских процессов

Поскольку для Гауссовских процессов совместное распределение амплитудных и средних напряжений мало отличается от нормального, то совместную плотность распределения амплитудных и средних напряжений можно записать в следующем виде:

Ограничимся рассмотрением только гауссовских процессов. Для таких процессов достаточно иметь корреляционную функцию второго порядка, определяемую (10.2). Совместное распределение любого числа его значений будет описываться многомерным гауссовским распределением [42]. Гауссовским будет также совместное распределение значений процесса и всех его производных. В частности, плотность распределения процесса и его первых двух производных для п моментов времени можно записать в следующем виде:

Пусть дана совместная плотность распределения процесса х (t) и его первых двух производных для двух произвольно выбранных моментов времени / (л;0, хй, х0, TO, xt, хг, xlt та), Для гауссовских процессов эта плотность определяется соотношениями (10.7) и (10.9).

§ II. Структурный анализ гауссовских процессов

Нестационарные гауссовские процессы. Основная модель нестационарных гауссовских процессов—это модель, описываемая соотношением (10.15). Для нее в § 10 приведены соотношения для определения моментов совместного распределения этого процесса и его первых двух производных. Эти соотношения позволяют провести структурный анализ нестационарных процессов подобно тому, как это было сделано выше для стационарных процессов.

Для Гауссовских стационарных процессов достаточно задать корреляционную функцию второго порядка

24. Анализ Гауссовских стационарных колебаний

Сопоставляя соотношения (4.115) и (4.98), заключаем, что средние значения половин размахов и максимумов в Гауссовских стационарных процессах равны по величине. Поскольку второй момент распределения половин размахов меньше второго момента распределения максимумов, то имеем оценку

25. Анализ композиции Гауссовских стационарных колебаний

Метод размахов. Определение распределения размахов (приращений процесса между двумя его соседними экстремумами) даже для Гауссовских стационарных процессов (как это было показано в гл. 4) является сложной вычислительной задачей. Примем, что это распределение можно приближенно описать соотношением (4.118). Запишем его здесь в следующем виде:

Использование методов теории случайных функций для описания и анализа нагруженности элементов конструкций было начато с использования модели простейшего импульсного потока статистически независимых воздействий и модели Гауссовских стационарных случайных колебаний. Это позволило избежать на первом этапе исследований и этапе внедрения новых методов расчета чрезмерных вычислительных трудностей и в то же время выявить все основные возможности и преимущества этих методов.

Для расчета долговечности элементов, нагруженность которых описывается случайными процессами, достаточно иметь распределение амплитуд и частоту появления циклов. Последнюю для Гауссовских стационарных процессов можно оценить по эффективной (средней) круговой частоте циклов, образованных нулями процесса

24. Анализ Гауссовских стационарных колебаний.......... 133

25. Анализ композиции Гауссовских стационарных колебаний .... 143

Стационарные процессы. Для гауссовских стационарных процессов х (t) совместная плотность распределения процесса и его первой производной / (х, х) определяется матрицей моментов (10.1 1). Подставив эту плотность распределения в формулу (10.65), получим следующее соотношение для определения среднего числа превышений уровня х в единицу времени:

Сопоставив соотношения (11.72) и (11.61), приходим к выводу, что если в качестве f (со) принять нормированный энергетический спектр заданного процесса 5 (со) = S (co)/s2, а величину а считать случайной с произвольным законом распределения и вторым моментом М [а2] — 2s2, то квазислучайный процесс (11.54), определяемый двумя случайными величинами а и со, можно будет считать построенным с точностью до воспроизведения его корреляционной функции. Свободу выбора вида распределения величины а можно использовать для получения, например, гауссовского одномерного распределения процесса у (t). Для этого достаточно распределение амплитуды а принять релеевским (это характерно для узкополосных гауссовских стационарных процессов), при котором второй момент М [а2] — 2s2. Таким образом, сформированный квазислучайный процесс (11.54) можно считать эквивалентным заданному гауссовскому случайному процессу с точностью до воспроизведения корреляционной функции и одномерной гауссовской плотности его распределения. Построенный квазислучайный процесс (11.54) нельзя считать полностью совпадающим (по определению) с гауссовским стационарным процессом. Для этого необходимо, чтобы не только одномерная плотность распределения была гауссовской, но и распределения любой кратности (n-мерные распределения) также были гауссовскими. Вместе с тем представление случайного процесса в виде простого соотношения (11.54) открывает большие возможности для приближенного изучения поведения динамических систем при случайных воздействиях, так кик при этом могут быть широко ис-