Исследовании устойчивости

Вынужденные параметрические колебания трубопроводов. В § 9.2 были получены уравнения (9.19), — (9.21), (9.36) малых вынужденных параметрических колебаний трубопроводов. Устойчивость малых параметрических колебаний рассмотрена в § 9.4. При исследовании динамической устойчивости использовалась однородная система (9.19) — (9.21), (9.36). При исследовании вынужденных параметрических колебаний надо рассмотреть неоднородную систему уравнений (9.19) — (9.21), (9.36) (положив ДР=ДТ=0). Систему уравнений (9.19) — (9.21), (9.36) можно представить в виде [аналогично (5.50)]

При исследовании вынужденных колебаний представим обобщенную координату в виде суммы

тотное уравнение. Произвели сравнение полученного спектра частот с частотой внешнего возмущения. При исследовании вынужденных колебаний перемещение представили в виде ряда произведений нормальных функций и неизвестных функций времени. По методу С. П. Тимошенко после суммирования получили уравнения для продольных и поперечных колебаний

При исследовании вынужденных стационарных колебаний (на установившемся скоростном режиме машинного агрегата) в рядах Фурье (6.9) возмущающих функций учитывают лишь тригонометри-

7. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ПРИВОДАХ МАШИН С ЛИНЕЙНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

Конкретный вид операторов фЕ и $ обусловлен физическими особенностями исследуемой механической системы, тем классом функций, которому принадлежит решение системы дифференциальных уравнений движения. Как показано в работе [29], при исследовании вынужденных колебаний приводов с нелинейным упругим соединением решение обычно отыскивается в классе С(1> [0, оо). В этом случае условия (8.47) имеют вид

Отметим, что выполненные выше построения относятся к случаю, когда решение системы дифференциальных уравнений (9.29) отыскивается в классе разрывных функций. Необходимость в этом возникает при исследовании вынужденных колебаний и автоколебаний (см. п. 13) в некоторых нелинейных системах [28; 29].

Указанные выше предположения приводят к известным упрощениям схем действительных механизмов и в некоторых случаях (например, при исследовании вынужденных колебаний под действием внешних периодических моментов) могут явиться причиной значительных погрешностей. Однако для режимов выбега, как показывает анализ, эти упрощения обычно не вызывают существенных погрешностей. Динамические характеристики приводов машин с самотормозящимися механизмами, найденные на основе упрощенных схем, как правило, сохраняют силу и при уточненном учете их свойств с необходимой полнотой [29]. Степень влияния каждого из упрощений может быть оценена в случае необходимости методами, разработанными в п. 8.

7. Метод оценок при исследовании вынужденных колебаний в приводах машин с линейными звеньями............... 190

При исследовании вынужденных колебаний системы водитель—автомобиль чаще применяются платформенные и барабанные вибрационные стенды [11].

Точно так же и при исследовании вынужденных колебаний механизма будем предполагать, что амплитуда периодического возбуждения, воздействующего на механизм (амплитуда пульсации или вибрации), остается малой. Условие малости амплитуды возбуждения, являясь необходимым, вместе с тем может оказаться недостаточным условием малости амплитуды вынужденных колебаний механизма. Тем не менее уравнения движения механизма будем составлять, исходя из предположения о малости последней, а в дальнейшем установим те условия, при которых это предположение остается в силе.

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения *), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса о том, устойчиво ли равновесие в том случае, когда характеристическое уравнение (16) линейного приближения (15) наряду с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответствуют точки, расположенные на самой мнимой оси). Такие случаи называются особыми. В особых случаях равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым, и вопрос об исследовании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (15) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

При исследовании устойчивости стержня нагрузки неизвестны и требуется найти такие нагрузки, которые удовлетворяют нелинейным уравнениям равновесия (3.10) —(3.14) и линейным уравнениям (3.24) — (3.27) при однородных краевых условиях. Численное решение уравнений (3.10) — (3.14) для каждого шага на-гружения изложено в § 2.3. Возможны различные варианты па-гружения стержня: а) пропорциональное увеличение нагрузок; б) последовательное нагружение, например вначале стержень нагружается силами, при которых нет потери устойчивости, а затем дополнительно нагружается или распределенной нагрузкой, или сосредоточенной силой или моментом. Возможны, конечно, и более сложные варианты нагружепия, когда стержень дополнительно нагружается несколькими силами или моментами (распределенными или сосредоточенными). Во всех перечисленных случаях можно выделить одну нагрузку и, увеличивая ее, довести стержень до критического состояния. Это существенно при численном счете, когда надо определять собственные значения (критические силы) краевой задачи.

Изложенный в данном параграфе метод позволяет весьма эффективно определять приближенные значения частот сложных задач, когда стержень имеет промежуточные опоры или сосредоточенные массы. В случае неконсервативных задач метод дает возможность определить комплексные собственные значения, что используется в дальнейшем при исследовании устойчивости малых колебаний стержней.

Исследование динамической устойчивости. При исследовании устойчивости параметрических колебаний рассматривается однородная система уравнений малых колебаний, получающаяся из системы (9.36), (9.19) — (9.21) (с учетом сил вязкого сопротивления):

К частотным критериям устойчивости принадлежат критерии Найквиста (1932) и Михайлова (1938). Оба критерия используются преимущественно при исследовании систем автоматического регулирования, так как позволяют учесть влияние обратных связей на устойчивость регулирования. Однако и при исследовании устойчивости движений в механизмах они могут быть полезны, в особенности в тех случаях, когда требуется установить, в каких пределах можно изменять тот или иной параметр механизма.

Остановимся на исследовании устойчивости автономных систем (т.е. систем, в которых отсутствует возбуждение, заданное в виде функции времени) .

Как правило, при исследовании устойчивости положения равновесия интересуются устойчивостью по отношению лишь к обобщенным координатам qi (/=1, ..., k). Нас может интересовать соблюдение условия (18.3) при выполнении условия (18.2) не сколь угодно продолжительное время, а в течение какого-то конечного заранее установленного промежутка.

При исследовании устойчивости системы существенным является вопрос о том, какой используется при этом математический аппарат — линейный или нелинейный. Линейный аппарат позволяет находить лишь критическую точку и форму (при малых отклонениях) с точностью до постоянного множителя, сменяющую перестающую быть устойчивой первоначальную форму.

Применим эти соотношения при исследовании устойчивости упругого тела, нагруженного системой мертвых сил (см. рис. 2.1). Для простоты рассуждений будем считать, что все внешние силы изменяются пропорционально одному параметру Р, а наложенные связи исключают перемещения тела как жесткого целого.

Поскольку в соответствии с принятым допущением (см. § 7) изменением размеров тела в докритическом состоянии равновесия пренебрегаем, вместо последних зависимостей получаем выражения^. 26). Таким образом, при исследовании устойчивости начального невозмущенного состояния принимаем такую модель: до потери устойчивости тело напряжено, но не деформировано. Закон Гука считаем справедливым для состояний, смежных с начальным. Поэтому внутреннюю потенциальную энергию в новом возмущенном состоянии равновесия можно вычислить по формуле (2.7), подставив значения деформаций из (2.24). С точностью до слагаемых, имеющих множитель а2, получим

Большинство авторов, излагая энергетический метод расчета на устойчивость сжатых стержней, считают условие нерастяжимости оси стержня (3.21) совершенно очевидным и пользуются им без всяких оговорок и ограничений. Однако нетрудно привести примеры, когда это условие нерастяжимости не может быть выполнено либо приводит к неверному результату. Так, например, стержень с закрепленными относительно осевых смещений торцами (рис. 3.11, а) не может потерять устойчивость без изменения длины оси. Если при исследовании устойчивости среднего стержня системы, показанной на рис. 3.11, б, считать его ось нерастяжимой, то это может привести к заниженному значению критической силы.