Интегральных уравнениях

14. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения ..........................................................................................................................94

15. Примеры расчета коэффициента интенсивности напряжений методом конечного элемента и граничных интегральных уравнений..................104

§ 14. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения

В последнее время все более широкое распространение в теории упругости получает метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости к решению интегрального уравнения, а основное его преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том, что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на выводе интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть iST — некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, а [)+ и 1)~— области, расположенные внутри и вне ее (D = D+ + ])~). Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный объем D+, то задача называется внутренней. Если же тело занимает бесконечный объем D~, то задача называется внешней. Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого тела (2.2)

и граничных интегральных уравнений

Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяциошшм методом ГИУ (см. § 14). Для численной реализации были па-писаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14).

92. Круп Т. Метод граничных интегральных уравнений в механике разрушения.— В кн.: Метод граничных интегральных уравнений.— М.: Мир, 1978, с. 46—67.

В случае, когда поверхности предполагаются диффузно излучающими и зеркально-диффузно отражающими, а эффективные потоки равномерно распределенными по поверхностям, фиксация актов поглощений и расчет мощностей Р"^/1 не дает выигрыша по сравнению с расчетом разрешающих угловых коэффициентов. Однако ситуация меняется при наличии поверхностей с радиационными свойствами, зависящими от направления, или при снятии допущения о равномерности распределения по поверхностям эффективных потоков. В этом случае не удается использовать понятие разрешающего углового коэффициента и приходится при детерминированном подходе решать систему интегральных уравнений относительно интен-сивностей эффективного излучения 18]. Практика показала, что даже

Рассмотрены данные о структуре и некоторых свойствах жидких и аморфных металлов; модели, позволяющие описывать структуру и свойства этих объектов, статистическая теория структуры одно- и многокомпонентных жидкостей. Большое внимание уделено расчетам структуры и свойств с помощью ЭВМ, причем использованы методы интегральных уравнений статистической теории жидкостей, вариационные методы и прямое моделирование на ЭВМ. Обсуждены вопросы наиболее полного описания ближнего порядка в неупорядоченных системах, в частности с помощью учета угловых корреляций в расположении атомов.

являются метод конформных отображений для расчета ЭП с плоскопараллельным электрическим полем и однородной контролируемой средой и метод интегральных уравнений для конструкций ЭПс пространственным электрическим полем и гетерогенной контролируемой средой.

Согласно методу интегральных уравнений составляются уравнения относительно поверхностной плотности заряда на электродах ЭП aft (/), исходя из постоянства потенциала на них.

Точное решение задач применительно к указанным условиям основывается на интегральных уравнениях излучения, откуда следует и название метода. Интегральные уравнения в § 17-9 получались путем предельных переходов из алгебраических.

Точное решение задач лучистого теплообмена с произвольным законом отражения основывается на интегральных уравнениях излучения. Однако интегральные уравнения излучения в § 17-10 для этого случая несправедливы, так как в них принималось, что отражательная способность не зависит от направления.

Точные решения, как и в случае диатермичной- промежуточной среды (§ 17-10), основываются на интегральных уравнениях излучения. Для этого используется зависимость (18-10), выражающая изменение яркости излучения вдоль луча [Л. 176].

В связи с задачами о термонапряженности с учетом температурных зависимостей упругих и дилатометрических свойств, а также пластических деформаций, развивающихся во времени, была разработана их трактовка в интегральных уравнениях, позволившая использовать методы итерации (повторения) и средства вычислительной техники и тем самым получить решения при сложных конструктивно заданных граничных условиях и экспериментально определенных уравнениях состояния. На этой основе были разработаны способы расчета на прочность и ползучесть с учетом температурных градиентов дисков и лопаток газовых и паровых турбин, трубопроводов и фланцевых соединений, толстостенных корпусов и несущих оболочек и других неравномерно нагретых конструкций.

В интегральных уравнениях (24), (25) при заданных значениях л, ft, q и q содержится два неизвестных п и с . Поскольку данные уравнения не могут быть разрешены в элементарных функциях, то для определения неизвестных п я. с могут быть использованы любые численные методы расчета.

Поиски эффективных путей решения уравнений радиационного теплообмена привели к созданию различных приближенных методов расчета. Все эти методы исходят из рассмотренного в гл. 3 уравнения переноса излучения с соответствующими граничными условиями к нему. Проведя то или иное интегрирование уравнения переноса излучения и граничных условий, можно получить либо дифференциальные, либо интегральные уравнения, описывающие процесс радиационного теплообмена в различных постановках. При этом в результате интегрирования уравнения переноса и граничных условий по телесному углу в получаемых дифференциальных и интегральных уравнениях в качестве неизвестного фигурирует уже не интенсивность излучения, а различные виды объемных и поверхностных плотностей излучения. Одновременно с этим в этих уравнениях появляются различные коэффициенты переноса, зависящие от распределения интенсивности излучения по различным направлениям, которое заранее неизвестно. Поэтому в отношении этих коэффициентов переноса принимаются те или иные допущения, вследствие чего такие расчетные методы и носят название приближений. Точность, с которой можно оценить неизвестные заранее коэффициенты переноса, определяет собой погрешности приближенных методов. Следует, однако, заметить, что в принципе, сочетая уравнения приближенных методов и интегральное выражение для интенсивности излучения (3-26), можно итерационным путем получить решение задачи с любой степенью точности. К тому же, как показывает анализ, неизвестные коэффициенты переноса во многих случаях являются сравнительно слабоизменяющимися функциями и их можно оценить заранее с приемлемой точностью. Исторически первым был соз-

Наряду с дифференциальными важное место занимают также интегральные методы исследования радиационного теплообмена, основанные на интегральных уравнениях теплообмена излучением. Исходя из (3-18) и (3-20), путем соответствующего интегрирования можно получить систему интегральных уравнений, описывающую процессы радиационного теплообмена и имеющую большое теоретическое и практическое значение. На основе интегральных уравнений были решены различные задачи радиационного теплообмена в системах с диатермической (прозрачной) и ослабляющей средой. Роль интегральных уравнений радиационного теплообмена существенно возрастает при исследованиях переноса в излучающих системах сложной геометрической конфигурации. Например, широко применяемые при расчетах радиационного теплообмена зональные методы являются алгебраической аппроксимацией интегральных уравнений теплообмена излучением и позволяют производить расчеты в излучающих системах любой сложности.

Анализ подынтегрального выражения в (8-75) показывает, что его величина для того типа ядер, которые имеют место в интегральных уравнениях радиационного теплообмена, стремится к нулю при сближении точек М и Р, т. е.

В основе приближенных методов лежат допущения, опирающиеся на опытные данные и на результаты точных решений. В зависимости от исходных предпосылок приближенные методы можно разделить на три группы. К первой группе относятся методы расчета, основанные на интегральных уравнениях количества движения, энергии и диффузии. Вторую группу составляют методы, ис-

ходящие из возможности деления пограничного слоя на две части: внутреннюю (пристеночный подслой) с преобладающим действием сил молекулярной вязкости и внешнюю часть, где силы молекулярной вязкости малы по сравнению с силами инерции. К третьей группе относятся методы, основанные на интегральных уравнениях количества движения и кинетической энергии.

В методах, основанных на интегральных уравнениях пограничного слоя, необходимы данные о распределении по сечению слоя характерных свойств (скорости, температуры, концентрации). Эти распределения подбираются с учетом выполнения необходимых условий на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Кроме того, выполняются дополнительные условия: на кривой распределения скорости — отсутствие точки перегиба в потоках с dp/dx<.0 и наличие такой же точки в потоках с dp/dx>0. В месте отрыва пограничного слоя должно выполняться условие (du/dy)w = Q, т. е. должен существовать профиль скорости, касательная к которому на стенке является нормалью к стенке.