Интегральное уравнение

Окончательно интегральное соотношение имеет вид

Подставляя последние выражения в интегральное соотношение и учитывая (3.1.73), получим

Изменение температуры Т0 на длине х= 20...30 не превышает 5%, а при х — 120 достигает 25%. Поэтому при значительной плотности теплового потока производная dT0/dx, входящая в интегральное соотношение энергии (1.54), может оказаться существенной и должна учитываться при его решении.

а интегральное соотношение энергии будет таким же, как при осевом течении. Особенности закрученного течения учитываются при этом через величину ад», входящую в St, Re? *,, Re^.

Для удобства решения преобразуем уравнения (9.7), (9.8). Учитывая (9.11), интегральное соотношение (9.7) представим в развернутом виде

Для того чтобы сформулировать предположение о линейности некоторого вязкоупругого тела, достаточно выписать интегральное соотношение, связывающее отклик (реакцию) тела с внешними входными данными (воздействиями), не уточняя физической структуры тела и физического смысла каждого параметра в отдельности. Поэтому ниже в этом разделе под телом будет подразумеваться просто «черный ящик», который может быть, например, одноосно нагруженным брусом или произвольно нагруженной сложной составной конструкцией.

Если хотя бы одна фаза (или несколько фаз) материала относится к типу ТСМ-2, о котором шла речь в разд. II, Г, то принцип соответствия для нестационарных температурных режимов вообще не выполняется. Более того, сам такой композит еще сложнее с точки зрения реологии, чем ТСМ-2. Однако для важного частного случая неизотермическое поведение таких материалов можно описать при помощи изотермических характеристик их фаз. Это имеет место в том случае, когда эффективные характеристики при изотермических условиях удовлетворяют равенству (130), а модули при растяжении — равенству (133). Можно показать, что в этом случае определяющие уравнения получаются заменой интегралов в уравнениях (63) и (64) (с применением формул (130) и (133)) интегралами вида (50), (56) или (57). Результаты еще больше упрощаются, если все эффективные характеристики удовлетворяют соотношению (130); тогда, например, интегральное соотношение (142) принимает вид

Рассмотрим малый интервал времени от t до t + А^. Возможны следующие изменения состояния системы а: 1) состояние а не изменялось и не произошло ни одного скачка; 2) вначале было состояние Ь, а в момент tlt t < tv < t + Д? произошел скачок в состояние а и больше скачков не было; 3) дважды произошло изменение состояния системы в Моменты tlt t% и т. д. События 1), 2) ... образуют группу несовместимых событий. Поэтому, рассматривая различные способы достижения конечного состояния а с учетом их вероятностей, можно записать для функции ш(а) (х, t) следующее интегральное соотношение:

Интегральное соотношение Кармана для пограничного слоя плоского потока имеет вид:

Используя вышеизложенное, можно преобразовать интегральное соотношение рассматриваемого потока, находящегося под внешними воздействиями — геометрическим и трения. В уравнении (83) заменим коэффициент потерь ? показателями k и п. Получим параметры потока, выраженные через число М и поперечную площадь потока F:

представляет собой основное интегральное соотношение теории пограничного слоя и называется уравнением импульсов. Это уравнение можно получить, применив к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими смежными сечениями пограничного слоя, непосредственно теорему количеств движения (теорему импульсов), чем и объясняется термин уравнение импульсов.

зовании получается следующее интегральное уравнение:

Решение первой основной задачи теории упругости будем искать в виде потенциала двойного слоя. Тогда, учитывая граничное условие (14.2), получим относительно неизвестной функции ф(/>) интегральное уравнение

Рассмотрим интегральное уравнение второго рода:

Перемещения и напряжения в области находятся интегрированием известных теперь функций но поверхности, причем интегрирование можно производить в той же сетке разбиения поверхности, при которой решалось интегральное уравнение. Для на- Рис- 14.1. Схема разбиения поверхно-хождения перемещений и на- сти тела сеткой малых элементов; р — пряжений в точках, располо- основная точка, д — опорная точка. женттых близко к поверхно-

Для плоской задачи в случае наличия одной прямолинейной трещины с помощью функции Грима можно построить интегральное уравнение, записанное лить но внешней границе тела. Приведем результаты решения некоторых задач [92]. В таблице 14.1

В том случае, когда разрез является частью плоскости симметрии задачи, ставятся смешанные граничные условия: на поверхности разреза — условия для вектора напряжений, а па продолжении его — пулевые касательные напряжения и пулевые нормальные перемещения. В такой постановке решен ряд пространственных модельных задач по определению коэффициента интенсивности напряжений [92]. Интегральное уравнение решалось методом механических квадратур [231, 271J. В таблице 14.3

Таким образом, равенство (19.33) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения функции gU). Для решения этого уравнения воспользуемся представлением ядра (19.33) в виде степенного ряда [411]:

Ф. А. Мак-Клинток [123] на основании введенного им критерия разрушения (см. § 11) получил интегральное уравнение, численное решение которого _ есть докритическая диаграмма разрушения. В соответствии с этим критерием механический смысл докри-тпческого роста трещины состоит в следующем. Пусть в точке г == р. (9 = 0) перед концом трещины удовлетворяется условие разрушения (11.2). Тогда трещина продвинется на малую величину dl. В связи с этим напряжение в соседней точке, лежащей на расстоянии р, от конца трещины, увеличенной длины I 4- dl, повысится, однако, недостаточно для того, чтобы соблюдался критерий (11.2). Для выполнения этого критерия (при котором трещина продолжает расти) надо повысить нагрузку. А это и приводит к устойчивому докритическому росту трещины, характеризуемому докритической диаграммой разрушения.

Уравнение (39.17) есть нелинейное интегральное уравнение сложной структуры. Проведем анализ этого уравнении. Ввиду того, что развитие устойчивых и неустойчивых трещин на этом этане имеет качественное различие, исследуем отдельно эти случаи.

Это соотношение можно рассматривать как интегральное уравнение для контактной силы Р, если w (с) заменить выражением

а сближение а принять равным а = (Р//С2)2/3 . В этом случае имеем интегральное уравнение