Интегралом уравнения

Таким образом, мы показали, что если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.1), т. е. задача интегрирования системы (6.1) заменяется задачей нахождения полного интеграла уравнения (6.12).

Итак, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтона можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, однако имеются динамические задачи, для которых нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якобй оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона.

Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (J). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа: интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (J) — эквивалентны в том •смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой.

304. Уравнения движения планеты в форме Якоби. Возьмем начало координат в Солнце, плоскость траектории примем за плоскость ху и обозначим через г расстояние МО от планеты до Солнца (рис. 177). Весь вопрос сводится к нахождению полного интеграла уравнения

Эти задачи могут быть, следовательно, приведены к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными вида (11) или (12). Значение интеграла (10) вдоль одной из этих кривых, идущих от Л к В, есть W± — Wu. В частном случае брахистохрон значение этого интеграла определяет время, затрачиваемое точкой для пробега дуги АВ брахистохроны. (См. К л е б ш, Journal de Crelle, т. 57, стр. 93; Ann ель, Comptes rendus, 12 марта 1883 и Annales de la Faculte de Toulouse, 1887; Андуайе, Comptes rendus, m. C, стр. 1577; Марколонго, Rendiconti della R. Accademia delle Scienze di Napoli, июль, 1888.)

где множитель /р (т) — главное значение стоящего в квадратных скобках интеграла уравнения (62). Значения fp (т) даны в табл. I для ряда показателей Вейбулла т.

к гиперболо-тригонометрической форме интеграла уравнения (12.1 45)

зить общий интеграл уравнения (12.146). Если аг .не .бесконечно велико, но все же имеет достаточно большре значение, то функции Крылова Н. А. становятся близкими к функциям (12.180). ЙСПРЛЬГ% зовать функции Крылова для построения; интеграла уравнения (12.146) можно, но при этом происходит падение точности расчета, в котором используются эти функции, вследствие того, что при, удалении от точки приложения силы влияние ее на v,,px, MX и. Qy уменьшается, вместе с тем аг, а следовательно, и максимальные ординаты функций У0(аг), ..., У3(«г) увеличиваются. Таким обра-

используя универсальный профиль скорости и выражение (6.14), вычисляем три интеграла уравнения (6.13).

Для определения частного интеграла уравнения (35) предполагаем, что Z зависит от промежуточного параметра

Средняя результирующая стойкость резца Трез.ср при колебаниях ее за полпериода со/ = я получится как частное от деления интеграла уравнения (4) в пределах со/ = 0 до со/ = я на разность пределов (л — 0).

Любая функция S* (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а. и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби.

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от п констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду

и что она зависит от п постоянных «1? ..., а„. Как и в первом случае, легко проверить, что неравенство (155) выполнено. Поэтому функция (163) является полным интегралом уравнения Гамильтона— Якоби и, зная ее, можно выписать закон движения в конечной форме.

Уравнение с частными производными первого порядка (J) определяет некоторую функцию V переменных qlt q2, q3, t, рассматриваемых как независимые. Известно, что по Лагранжу полным интегралом уравнения с частными производными первого порядка называется решение этого уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, сколько в нем содержится независимых переменных. В рассматриваемом случае полный интеграл должен содержать четыре произвольных постоянных. Но уравнение (J) содержит только производные от V. Поэтому, если оно обладает каким-нибудь решением V, то оно будет иметь и другое решение 1/-)-const. Следовательно, для того, чтобы иметь полный интеграл, достаточно найти решение

с коэффициентами, не зависящими от а±, й2, й3, т. е. являющимися функциями от <7i> Чъ Чй' t- Но тогда функция V не будет больше полным интегралом уравнения Якоби, так как она удовлетворяет не только уравнению Якоби, но еще и уравнению (10), которое не содержит t и поэтому отличается от уравнения Якоби. Но, как известно, существенным свойством полного интеграла является то, что по исключении содержащихся в нем постоян-

Таким образом, мы убеждаемся, что функция W является интегралом уравнения Якоби (1) с постоянной TQ. Уравнения движения в конечной форме теперь будут

Дифференциальное уравнение геодезических линий (прямых линий) будет в этом случае уравнением Эйлера. Тогда уравнение прямой в эллиптических координатах будет интегралом уравнения Эйлера (Лагранж, см. п. 307). Уравнение, определяющее дугу геодезической линии (305), будет выражать теорему сложения для эллиптических интегралов второго рода. (Дарбу, Lecons sur la Theorie generale des surfaces, т. Ill, стр. 13.)

Функция у (х. С,,..., С„), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка i~(x, у, у',.. ., >(">) = О и зависящая от п произвольных постоянных С],..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (х, у, С},..., Сп) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены, если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении лг0 независимой переменной х заданы значения функции _у0 и её производныхУ,.. .,у'о(п~!)• Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения n-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных.

является общим интегралом уравнения в частных производных.

Соотношение Ф (х, у, С)==0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция есть решение дифференциального уравнения. Частный интеграл получается из общего при частном значении С. Особый интеграл не содержится в общем интеграле.

уравнение я-го порядка имеет вид F(х, У, /. У", •••, у<п') = 0. Функция y = •', ...,yln~" принимают заданные начальные значения у0, у'а, ....^о™""'5. Суще-