Интегрирования дифференциальных

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым— он получается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое «размножение» первых интегралов уравнений движения лишено смысла.

Теорема (Якоб и — Пуассона). Скобка Пуассона от двух интегралов уравнений движения сама является интегралом уравнений движения.

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.

Предположим, что нам известны 2s интегралов уравнений (5.24), т. е.

стоянные интегрирования. Выражения (6.8) и (6.9) представляют собой систему интегралов уравнений (6.5) и (6.6). Используя теперь преобразование (6.3), мы могли бы получить старые переменные qm и рт, т. е. решить задачу о движении системы*). Однако мы не можем этого сделать, так как нам неизвестна функция ii. Рассмотрим соотношение (6.7) с учетом выражения (6.4):

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.

1. Если в канонических уравнениях положить t = — t' ', то уравнения сохранят ту же форму, но р будут играть роль параметра q и наоборот. Сделать отсюда вывод, что для получения интегралов уравнений движения достаточно знать полный интеграл уравнения с частными производными

Таким образом, по вышеизложенному методу весь расчет сводится к вычислению интегралов уравнений (141) и (142), входящих в формулу (143).

Таким образом, по этому методу весь расчет первой критической угловой скорости вала практически сводится к вычислению интегралов уравнений (323) и (324), входящих в равенство (325).

24. Рубаиовский В. Н., Степанов С. Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функции Ляпунова из интегралов уравнений движения. — «ПММ», 1969, т. 33, вып. 5 с. 904 — 912.

Для круглой пластины без центрального выреза должно быть обеспечено условие конечности перемещений, сил и моментов в центре пластины вследствие обращения некоторых частных интегралов уравнений (9.2.29) при г = 0 в бесконечность.

Для измерения разности температур в переходных частях образца, а также температуры разогрева его рабочей базы и перефе-рийных областей к образцу приваривались термопары Тг~ Т1о в точках, показанных на рис. 3.8, б. Термопары 7\ и Г2, а также Та и Г4, соединенные по схеме дифференциальной термопары, позволяли регистрировать разности температур АТг и ДГц, входящие в уравнения (3.19). При этом осуществлялась непрерывная запись во времени разностей ATj и ДГц на потенциометре типа КСП-4. Последующее планиметрирование площади под кривой от момента исходного нагружения до момента стабилизации теплового режима (ATj = ДГц = 0) позволило получать соответствующие численные значения определенных интегралов уравнений (3.19). Температура рабочей зоны образца измерялась с помощью термопар Г6, Г6 и Г7 (рис. 3.8, б), первая из которых расположена в центре, а две другие — на равных расстояниях от галтелей и центральной термопары. Пример регистрации изменения температуры в процессе эксперимента с помощью термопары Г 5 и разность температур Гг—Г2 приведены соответственно на рис. 3.9, а, б. Измерения температур в точках 5—7 позволяют определить количество тепла Qv, затраченное на непосредственный разогрев образца (увеличение теплосодержания системы) после прекращения тенлоотвода от его базы. В этом случае величина Qp определится как

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29).

Если бы мы располагали полной системой первых интегралов, то задача интегрирования дифференциальных уравнений полностью была бы заменена задачей обращения этих интегралов. Поэтому в тех случаях, когда заданная система этих интегралов не является полной, т. е. когда т<2л, центральной является задача об увеличении числа первых интегралов. На первый взгляд эта задача кажется несложной. Действительно, если взять произвольную функцию т переменных и подставить вместо этих переменных известные нам т первых интегралов, то в результате получится новая функция гамильтоновых переменных, которая также будет сохранять неизменное значение во время движения

Уравнение (9.1) можно получить также после интегрирования дифференциальных уравнений движения звеньев механизма. На этом основании (9.1) называют уравнением движения механизма в форме интеграла энергии1.

При больших объемах вычислений можно воспользоваться усовершенствованными приемами численного интегрирования дифференциальных уравнений, излагаемых в курсах вычислительной техники.

Уравнение (11.5)—дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции ш = (о(ф); уравнение (11.6)—дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Ф=Ф(/). Следовательно, решая (11.5) любым из многочисленных методов интегрирования дифференциальных уравнений, можно найти функцию ш = со(ф), а затем, решая (11.6), найти закон движения

Выполнение различных технических расчетов связано с огромной вычислительной работой и большой затратой времени. Поэтому в настоящее время вопросам развития математической техники уделяют большое внимание. Создают приборы и машины для решения алгебраических уравнений, интегрирования дифференциальных уравнений, интегрирующие устройства (планиметры, интеграфы, анализаторы и т. п.), вычислительные"приборы для решения численных задач арифметики, алгебры, тригонометрии и пр. Эти механизмы или устройства автоматически дают решения разнообразных сложных математических задач.

При больших объемах вычислений можно воспользоваться усовершенствованными приемами интегрирования дифференциальных уравнений, излагаемыми в курсах вычислительной техники.

Уравнение (10.55) —дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции ш = и(ср). Уравнение (10.56) — дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции ф = ф(/). Следовательно, можно сперва любым из многочисленных методов интегрирования дифференциальных уравнений найти функцию и = и (ф), решая уравнение (10.55), а затем найти закон движения начального звена q) = tp(f), решая уравнение (10.56). Решение в координатах и и ф называют решением на фазовой плоскости.

Аналитические решения, полученные путем непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равноценно математическим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Четвертый уровень АСНИ "Надежность" - уровень моделирования. Программный модуль этого уровня МР предназначен для моделирования функций готовности и технического использования генераторов при различных стратегиях их эксплуатации. Моделирование этих функций основано на решении дифференциальных уравнений [16]. Процесс численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые составляются программным модулем МР, реализуется модулем FORT. Программный модуль FORT использует подпрограммы научной библиотеки программ, написанные на алгоритмическом языке ФОРТРАН, и является, по сути дела, интерфейсом между библиотекой и программным модулем МР. Значения входных параметров модуля МР уточняются средствами блока диалогового опроса. Если какие-то из параметров распределений не известны, они могут быть оценены программными модулями предыдущих уровней до или во время работы транзакции. Если оценка параметров распределений производится в процессе работы транзакций, то необходимо обеспечить включение в программу транзакции соответствующих модулей.

Изложенный здесь метод получения интеграла обыкновенного неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами называется методом начальных параметров. Подробнее об этом методе говорится в главе XII, где поясняется, что указанный метод есть не что иное, как метод Коши интегрирования дифференциальных уравнений, в которых правая часть (у нас нагрузка) на разных участках рассматриваемого промежутка имеет различные аналитические выражения.