Интегрированием уравнений

После интегрирования уравнение (7.24) принимает вид

где в результате интегрирования уравнение (12) уже не является следствием (12а) и (126).

Основная идея дифференциально-разностного приближения заключается в представлении потока излучения для рассматриваемого направления в виде разности двух встречных потоков. При таком подходе путем соответствующего интегрирования уравнение переноса излучения заменяется системой из двух дифференциальных уравнений, содержащих в качестве неизвестных поверхностные плотности встречных потоков излучения. Аналогичное интегрирование производится и для получения граничных условий к этим дифференциальным уравнениям. Полученные описанным способом дифференциальные уравнения, граничные условия и уравнение энергии составляют замкнутую систему уравнений дифференциально-разностного приближения, которая и решается в зависимости от постановки задачи тем или иным способом. Коэффициенты переноса, фигурирующие в этой системе уравнений, как уже упоминалось, заранее точно не известны и определяются на основании предварительных приближенных оценок, а в случае необходимости могут быть уточнены итерационным методом. Этим, собственно, и обусловливается приближенность рассматриваемого метода. Вместе с этим сравнительная простота получаемых уравнений, отсутствие принципиальных затруднений при их решении, физическая наглядность сделали дифференциально-разностное

В результате интегрирования уравнение (233) можно представить в следующем виде:

и учитывая, что б(0)=0, получаем после интегрирования уравнение

После интегрирования уравнение (21-8) принимает вид [Я. 62]:

Поскольку в уравнение скорости (4-128) входит не менее двух подлежащих определению параметров, применение его в расчетной практике сопряжено со значительными трудностями. В целях облегчения задачи в табл. 4-15 представлены постоянные коэффициенты уравнений скорости окисления для различных металлов в достаточно широком температурном интервале. Оценку численного значения постоянной интегрирования с можно производить при помощи выражения, отображающего ее физический смысл:

то после интегрирования уравнение (21) приобретает l
После интегрирования уравнение (56) преобразуется к виду

Мы не будем здесь входить в детали, связанные с интегрированием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132) определен, т. е. найдена функция S* (q, a, t), удовлетворяющая условию (133) и обращающая уравнение (132) в тождество. Тогда, подставляя в формулы преобразования, порожденного функцией S=cS*, т. е. в формулы (126), «новые» гамильтоновы переменные (в силу выбора //*=() это константы (130)), получаем формулы преобразования в следующем виде:

Постоянные определяются из того условия, что кривая проходит через две заданные точки А и В, откуда получаются четыре уравнения для определения четырех постоянных. Таким образом определяются искомые кривые, соединяющие две точки. Не все эти кривые дают для интеграла максимум или минимум, но среди них находятся именно те, которые осуществляют максимум или минимум. Так как общие уравнения кривых С содержат четыре произвольных постоянных, то одна из этих кривых определяется четырьмя условиями. Кроме исключительных случаев можно, например, предположить, что кривая проходит через заданную точку и имеет в ней заданную касательную. Легко проверить, что если ср — постоянная, то кривые С, получаемые интегрированием уравнений (3), как мы это знали уже заранее, являются прямыми

пряженное состояние — чисто моментным. Перемещения при такой деформации определяются интегрированием уравнений

Наиболее простой вариант теории мягких оболочек — это теория, базирующаяся на предположении о нерастяжимости оболочки, В этом случае конфигурация нагруженной оболочки считается известной и совпадающей о начальйой. Тогда задача об определении внутренних сил в оболочке оказывается статически определимой, и интегрированием уравнений равновесия (см. гл..6) можно найти силы Tlt TZi S.

Имеются подробные номограммы равновесных профилей оболочек с шинной геометрией 1, рассчитанные на ЭЦВМ. Более грубые номограммы, полученные графическим интегрированием уравнений (9.19), приведены в работе [45].

Эти значения L (хг) и г (х^ являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при х^= ^' Xi. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76), не имеет существенных преимуществ. Однако это не так. Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы L и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус R, толщина h) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации уц (х) = sh fix X X sin РЛ; и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещению, вызываемому единичной поперечной силой . _ 1 chjk sh РХ — cos p* sin fix

Если при этом для всех механизмов используются динамические модели с жесткими звеньями, то выходные координаты Xi(t), .. ., xm(t) определяются подстановкой (1.13) в (1.3); уравнения (1.10) используются только для определения движущих сил Qi(t), .. ., Qi(i). Если же звенья считаются деформируемыми, то деформации Gj, ..., 6Л и обобщенные силы (?j, ..., Qt определяются интегрированием уравнений (1.10), в которые qe(t) под-

Часто удобнее всего разделять напряжения в объемных задачах интегрированием уравнений равновесия, как при решении плоских задач 1). Если интегрирование производится вдоль линии, параллельной оси х, то используется уравнение равновесия

Интегрированием уравнений (5.7) и (5.8) получаем x = f(t) и У — /(0 Для заданных значений ив, гк. Имея в виду, что ик = = У~ъ2кх + ъ2ку и УК = VKX cos а, строим зависимости vy(t) и vx(t) и далее для известной координаты у по vx(t) определяем 1х(г), т, е. боковой снос капель в зависимости от их крупности. Этот способ оценки выносимого в виде капель расхода воды основывается на методике, известной из лабораторных исследований спектра крупности капель, и является пригодным для ориентировочных оценок.

дается совместным построением их переходных процессов (рис. IX. 10), полученных интегрированием уравнений (IX.43) — сплошная линия и (IX.48) — штриховая линия. \\

Задача решается для скачка (сброса или на-броса) нагрузки непосредственным интегрированием уравнений движения на отдельных фазах с последующим подбором постоянных интегрирования из условия непрерывности процесса. В работе строится процесс регулирования, исследуется устойчивость системы по отношению к возмущениям