Интегрирование уравнения

§ 73. Интегрирование уравнений движения ........... 344

§ 73. Интегрирование уравнений движения

§ 73. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 345

§ 73. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 347

• 2.6. Интегрирование уравнений движения. Частица массы m движется под действием силы F. В момент ? = 0 известны ее радиус-вектор г(0) и скорость v(0) — начальные условия. Найти положение частицы, т. е. ее радиус-вектор г, в зависимости от времени t, если:

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЯ

Интегрирование уравнений равновесия нулевого приближения. В § 1.4 были получены общие уравнения равновесия стержня нулевого приближения в связанной [уравнения (1.112) —(1.115)] и в декартовой [уравнения (1.130) —(1.133)] системах координат, справедливые для любых внешних нагрузок. Рассмотрим решение уравнений равновесия для различных случаев поведения внешней нагрузки.

Интегрирование уравнений равновесия первого приближения. Рассмотрим уравнения первого приближения, например уравнения (1.164) — (1.167) для «мертвых» сил, когда приращения Aq, Да, ДР<(') и ДТ^> не равны нулю. Систему линейных уравнений (1.164) — (1.167) можно представить в векторной форме:

§ 2.2. Интегрирование уравнений равновесия стержня, имеющего промежуточные опоры или заданные перемещения ряда сечений Стержень с промежуточными шарнирными опорами. Рассмотрим стержень (рис. 2.8,а), имеющий промежу-

Интегрирование уравнений равновесия. На каждом этапе на-гружения уравнения равновесия (2.86) —(2.90) или (2.95) —(2.99) являются линейными, т. е. могут быть представлены в виде, например, системы (2.95) — (2.99) после исключения Ах(т):

Интегрирование уравнений равновесия 61

На практике [41, 72] для определения количества циклов на стадии стабильного развития трещины производят интегрирование уравнения (5.2). Использование только критической длины трещины, найденной через критический коэффициент интенсивности напряжения, в качестве верхнего предела интегрирования, без учета деформационного упрочнения и реальной геометрии трубы, некорректно. Прямое использование классических методов линейной механики разрушения для тонкостенных сосудов давления, изготовленных из высоковязких сталей, какими являются современные магистральные трубопроводы, приводит к результатам, не имеющим физического смысла. Так, в работе [76] рассчитанная критическая глубина трещины составляет около километра (толщина стенки большинства эксплуатирующихся трубопроводов не превышает 20 мм). Для нахождения верхнего предела интегрирования уравнения Пэриса используем силовой и деформационный критерии линейной и нелинейной механик разрушения [57, 93].

Интегрирование уравнения (8.16) в определенных пределах (по t от /ci до <г2 и по г от Г до rj) дает зависимость для расчета теплового потока через цилиндрическую стенку:

Тела сложной конфигурации. В этом случае приходится рассматривать изменение температуры по двум или трем координатам, интегрирование уравнения теплопроводности сильно усложняется. Получить аналитическое решение часто не удается, тогда используют численные методы решения (§ 14.3).

Интегрирование уравнения (4.29) ведем в предположении, что закон движения ф(/) мало отличается от равномерного вращения и, следовательно, может быть представлен в виде суммы;

Интегрирование уравнения (608) при краевых условиях дает распределение потенциала и плотности тока в электролите:

Из уравнения (5.3) вытекают частные зависимости для оценки МХПМ при упругих и упругопластических деформациях, а также в режиме динамического деформирования [7, 8]. Интегрирование уравнения (5.3) с учетом уравнений механики деформируемого твердого тела и критериев прочности дает функцию меры повреждаемости П = (p(t ...), по которой при П = 1 устанавливается время до наступления того или иного предельного состояния (долговечность) конструктивного элемента. При упругих деформациях за предельное состояние принимается условие текучести Мизеса. Предельная долговечность определяется по условию потери устойчивости пластических деформаций.

Интегрирование уравнения (5.12) в пределах от асро до аср и от 0 до t дает выражение для расчета долговечности цилиндра:

Интегрирование уравнения «изобары химических реакций», казалось бы, должно было позволить вычислить константу рав-

где /= ^ Fm(qm), то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (теорема Лиувилля).

5.3. Интегрирование уравнения (19) дает величину остаточного ресурса конструктивного элемента с исходной трещиной

Интегрирование уравнения (2.3) с учетом уравнений механики деформируемого твердого тела и критериев прочности дает функцию меры повреждаемости П = q>(t...), по которой при П = 1 устанавливается время до наступления того или иного предельного состояния (долговечность) конструктивного элемента. При упругих деформациях за предельное состояние принимается условие текучести Мизеса. Предельная долговечность определяется по условию потери устойчивости пластических деформаций.