Интегрировании уравнений

В тех случаях, когда связи накладываются не только на координаты, но и на скорости, и поэтому приводят к дифференциальным уравнениям, возможны два варианта в зависимости от того, можно ли проинтегрировать эти уравнения. Если дифференциальные уравнения связи могут быть проинтегрированы, то они записываются в конечном итоге в виде конечных соотношений, но эти конечные соотношения содержат также и произвольные постоянные, которые естественным образом вводятся при интегрировании дифференциальных уравнений. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение механической связи не может быть проинтегрировано, необходимо учитывать уравнения связи в исходной форме дифференциального уравнения. В связи с этим механические дифференциальные связи подразделяются на дифференциальные интегрируемые и на дифференциальные неинтегрируемые 1).

выделенных участков. Поскольку при действии любых нагрузок, как установлено наблюдениями, упругая линия деформированной балки является непрерывной и плавной кривой, то на границах смежных участков "уравнения упругих линий должны давать одинаковые величины перемещений и углов поворота сечения. Это обстоятельство позволяет найти значения произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений для участков. Произвольные постоянные определяются из граничных условий, зависящих от способа закрепления балки и условий непрерывности и плавности упругой линии.

1) В теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами такое построение решения известно под названием метода К.оши. Исторически, однако, получилось так, что в сопротивлении материалов тот же по существу метод был разработан на основе механических идей. В создании метода в такой трактовке принял участие ряд ученых, среди них были А. Клебш, И. Г. Бубнов, Н. П. Пузыревский, А. Н. Крылов, Н. К- Снитко. Этот метод получил название метода начальных параметров. Он используется в механике твердых дефэрмируемых тел не только при интегрировании уравнения изгиба балки, но и в других случаях (см. гл. II, XF), где ситуация аналогична (наличие участков)—при интегрировании дифференциальных уравнений изгиба балки на упругом основании, сложного (продольно-поперечного) изгиба балки и других аналогичных.

Численное или графическое интегрирование уравнений равнове-•сия в декартовых координатах. Этот метод основан на интегрировании дифференциальных уравнений равновесия [1], которые для •случая плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил записываются в виде

Сущность этого метода заключается в прямом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих скорость изменения концентрации промежуточных соединений, и замене этих уравнений алгебраическими при достижении квазистационарного состояния.

Среднелогарифмическая формула получена при интегрировании дифференциальных уравнений теплообмена через элементарную поверхность нагрева при условии неизменности по длине теплообменника коэффициента теплопередачи и линейной зависимости разности температур от температуры любого теплоносителя [Л. 22]. Это положение, с известным приближением справедливое для поверхностных теплообменников, не выполняется в случае охлаждения водой

Среднелогарифмическая формула получена при интегрировании дифференциальных уравнений теплообмена через

Как известно, при расчете поверхностных теплообменных аппаратов в качестве средней разности температур обычно принимается средняя логарифмическая разность, заменяемая иногда (при сравнительно небольшом изменении температуры каждого из теплоносителей) средней арифметической разностью. Средне-логарифмическая формула получена при интегрировании дифференциальных уравнений теплообмена через элементарную поверхность нагрева при условии неизменности по длине теплообменника коэффициента теплопередачи и линейной зависимости разности температур от температуры любого теплоносителя [24]. Это положение, с известным приближением справедливое для поверхностных теплообменников, не выполняется в случае охлаждения водой влажных дымовых газов в контактном экономайзере, где кроме охлаждения газов имеет место конденсация водяных паров из парогазовой смеси, а иногда и испарение части воды и увеличение влагосодержания газов. Температура парогазовой смеси здесь не изменяется линейно в зависимости от температуры подогреваемой воды, поскольку вода в значительной степени подогревается за счет скрытой теплоты парообразования. А поэтому и разность температур не изменяется линейно в зависимости от температуры воды. Особенно это сказывается при низкой температуре газов и высоком их начальном влагосодер-жании.

Нужно иметь в виду, что шаг интегрирования по переменности коэффициентов At' в общем случае отличается от шага Д?, который должен применяться при интегрировании дифференциальных уравнений систем обычными методами.

Аргументы, к которым мы прибегаем, формально будут отличаться от тех, которые используются при интегрировании дифференциальных уравнений пограничного слоя, но исходные соображения остаются теми же.

Численные расчеты на сегодня еще очень сложны. Определение исходных величин при численном интегрировании дифференциальных уравнений требует равенства нулю степенных рядов d = Q и ?> = 0, коэффициенты которых определяют в процессе расчета.

Выше уже указывалось на трудности, возникающие при интегрировании уравнений движения. В целом ряде случаев исходные данные (законы изменения сил, приложенных к агрегату, и приведенных масс или моментов инерции) не могут быть выражены аналитическими зависимостями и задаются в форме графиков. В этом случае могут быть использованы лишь графические или графоаналитические методы решения уравнений движения.

Приведенные формулы (3-114) — (3-116) наиболее часто используются при численном интегрировании уравнений теплопроводности. ^Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения -к конечно-разностной форме. Преобразование проведем гяа примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности без-

Эта форма привела Якоби к замечательной теореме об интегрировании уравнений движения.

Другой вариант уточненной теории пластин был построен Ян-гом с соавторами [195], которые ввели постоянную по толщине деформацию сдвига, а разрешающие уравнения получили в результате интегрирования уравнений движения по толщине. Эту работу можно считать обобщением исследований Генки [72] в области статики и Миндлина [102] в области динамики однородных изотропных пластин на слоистые анизотропные материалы. При интегрировании уравнений движения Янг и др. ввели коэффициент формы, позволяющий привести в соответствие определяемые частоты с результатами, получаемыми по трехмерной теории. Отметим, что в рассматриваемой теории фигурируют три типа инерционных членов: *

При интегрировании уравнений (58) и (59) прямые и искривленные участки тела удобно рассматривать по отдельности. На прямых участках, где величина 0 постоянна, кривизна волокон \]га равна нулю; следовательно, оси декартовой системы х и у можно направить вдоль волокон и нормальных линий соответственно. Тогда из уравнений (58) и (59) имеем

где с — оптический коэффициент напряжений, a dn/ds — градиент оптической разности хода в направлении просвечивания. Для определения всех компонент тензора напряжений по данным фотоупругого исследования используется какой-либо вспомогательный метод, например метод конечных разностей. Этот метод основан на численном интегрировании уравнений равновесия. Уравнение равновесия

При интегрировании уравнений (5.92) возникают еще две постоянные, соответствующие перемещению оболочки как жесткой.

Как следует из формул (6,45), непрерывные выражения для перемещений получаются в безмоментной теории только в том случае, если произвольные функции /г (ф), /у(ф)> возникающие при интегрировании уравнений равновесия, непрерывны вместе со своими производными соответственно до третьей и до второй включительно. Это накладывает определенные ограничения на допустимые виды нагрузок и граничных условий. Так, в част-

Переменные to*, w0, ty связаны между собой через граничные условия. При интегрировании уравнений (7.72) и (7.73) возникают соответственно две и одна произвольные функции, но на суммарный прогиб w* + WQ на контуре оболочки наложены только два граничных условия (на w и •&„ или на Мп и Qn).

В теорий краевого эффекта рассматриваются лишь быстро изменяющиеся функции. Поэтому при интегрировании уравнений (7.78) следует отбросить линейно зависящие от а произвольные функции (эти функции характеризуют медленно изменяющиеся перемещения и усилия, которые учитываются безмоментным и чисто моментным решениями). Интегрируя дважды второе из уравнений (7.78) и отбрасывая произвольные функции, найдем

Заметим, что при интегрировании уравнений (11.75) справа налево матрица Ц Q) будет представлять собой податливость правой части балки, и знаки ее элементов будут другими: