Интегрированию уравнения

При интегрировании уравнения Пэриса для конструкций, размеры которых удовлетворяют условиям применимости линейной механики разрушения, применяют К-тарировку Ирвина, являющуюся поправкой на пластическую зону перед растущей трещиной. При практическом использовании К-тарировка дает удовлетворительную точность для трещин с относительной глубиной до 0,7 (отношение глубины трещины к толщине) [72]. Однако прямое использование указанных методов, как это было показано выше, может привести к результатам, не имеющим физического смысла. Поэтому нами были использованы только методы, показавшие свою работоспособность применительно к трубам, используемым в трубопроводном транспорте углеводородов. Для случая поверхностной, а не сквозной трещины критическим условием разрушения является соотношение (5.7), а не (5.15).

При интегрировании уравнения движения в общем случае нужно установить начальные условия. Для неустановившегося движения механизма в период разгона эти условия определяют по исходному положению механизма. Однако если моменты действующих сил и приведенный момент инерции зависят от разных параметров, то задача получается сложной и ее обычно решают приближенно. " При установившемся режиме работы машины решение усложняется тем, что для установления начальных условий требуется исследование предшествовавшего периода пуска машины.

Для капельных жидкостей, как правило, Pr^l и, следовательно, т. е, выполняется условие, принятое при интегрировании уравнения теплового потока. Число Прандтля газов изменяется в пределах примерно от 0,6 до 1; в частности, для воздуха Рг«0,7 в большом интервале температур. При этом &;>6, однако разница в толщинах теплового и гидродинамического слоев невелика. Например, при Рг = =0,6 имеем ?=1,186. Опыт показывает, что указанным различием k и б практически можно пренебречь.

На рис. 2.6.5, а представлена диаграмма деформирования при сложной программе нагружения, когда в каждом полуцикле происходило увеличение максимальных напряжений. Этот пример показывает, как велики могут быть ошибки при использовании предлагаемых уравнений. Расчетная диаграмма (пунктирная линия) получена при интегрировании уравнения (2.6.16) до значений пластической деформации, определяемых в каждом полуцикле экспериментальной диаграммой. Ошибка по напряжениям в этом случае не превышает 10%.

Расчетная диаграмма (штрихпунктирная линия) получена при интегрировании уравнения (2.6.16) в каждом полуцикле до максимальных значений напряжения в полуциклах экспериментальной диаграммы. Ошибка по деформациям достигает в этом случае значительной величины. Очевидно, это общий недостаток приближенной системы феноменологических уравнений, так как упруго-пластические свойства металлов таковы, что малые изменения напряжений приводят к значительному увеличению пластических деформаций.

Зависимость (11.199) и является граничным условием для ф, используемым при интегрировании уравнения (11.195). Таким образом, последовательность решения задачи следующая.

!) Заметим, что при последовательном интегрировании уравнения (12.123) перед третьим интегрированием обе части уравнения (12.124)2 были разделены на Е1Х для того, чтобы в результате третьего интегрирования получить угол поворота поперечного сечения балки $ — v', а в результате четвертого— прогиб v. Без такого деления в результате третьего и четвертого интегрирования имели бы не v' и v, a EIxv' и EIxv соответственно. Вследствие отмеченного деления на Е1Х получилось то, что в (12.124)j постоянной интегрирования является — Qyo и в (12.124)2 — величины — Qyo и — МХО, а в (12.124)3 таковыми

1) В теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами такое построение решения известно под названием метода К.оши. Исторически, однако, получилось так, что в сопротивлении материалов тот же по существу метод был разработан на основе механических идей. В создании метода в такой трактовке принял участие ряд ученых, среди них были А. Клебш, И. Г. Бубнов, Н. П. Пузыревский, А. Н. Крылов, Н. К- Снитко. Этот метод получил название метода начальных параметров. Он используется в механике твердых дефэрмируемых тел не только при интегрировании уравнения изгиба балки, но и в других случаях (см. гл. II, XF), где ситуация аналогична (наличие участков)—при интегрировании дифференциальных уравнений изгиба балки на упругом основании, сложного (продольно-поперечного) изгиба балки и других аналогичных.

Во втором случае принимается равномерным изнашивание поверхностей трения, что возможно, если произведение давления в рассматриваемой точке поверхности трения на скорость этой точки является величиной постоянной. Так как линейная скорость пропорциональна радиусу, то данное условие выражается в виде рд = const, что дает при интегрировании уравнения (49) выражение для эквивалентного радиуса в виде

Прежде всего нужно отметить тот факт, что начальные условия, определяющие периодический предельный режим, вообще говоря, неизвестны. Поэтому начальные данные при интегрировании уравнения движения машинного агрегата выбираются, как правило, случайно, что, естественно, не может не отразиться на степени точности приближений к периодическому предельному режиму Т=Т* (ср).

Что касается неустойчивого предельного режима о>= ф (t). Поэтому, выбрав начальные условия такими, чтобы при t—tQ выполнялось равенство «в (?0)=<0* (^о)> мы будем иметь дело с неустойчивым движением агрегата: при малых отклонениях от скорости <>=и>... (it) он либо останавливается, либо переходит на режим движения с угловой скоростью, близкой к ш= ш* (t). Вместе с тем знание решения <в= и># (t) позволяет выделить области допустимых начальных условий, при которых возникают устойчивые и неустойчивые предельные режимы угловой скорости движения звена приведения машинного агрегата. Учет этих областей оказывается важным, например, при численном интегрировании уравнения движения (8.11).

Решение же второго вопроса сводится к интегрированию уравнения (5.5). Умножив обе части этого уравнения на dt, получим dL=Md?— выражение, которое определяет элементарное приращение вектора L. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение вектора L за конечный промежуток времени t:

Функции Ра\ и ФИ1 подчинены уравнениям (4.1.12) и граничным условиям (4.1.13). Определение этих функций, как показано в § 1 настоящей главы, сводится к интегрированию уравнения (4.1.20):

Определение функций F23 и Ф23, как показано в § 4, сводится к интегрированию уравнения (4.4.44), которое для оживальной оболочки имеет вид

6. Найти движение точки, движущейся на сфере и притягивающейся диаметральной плоскостью пропорционально расстоянию. Задача сводится к интегрированию уравнения Ляме. [К о б б, Comptes rendus, т. CVIII.]

Если считать анод неполяризующимся, то такой расчет сводится к интегрированию уравнения Лапласа при следующих граничных условиях:

К треть ей группе тепловых расчетов относятся методы, основанные на аналитическом решении уравнения теплопроводности. При аналитическом исследовании процесса нагрева и охлаждения тормоза задача сводится к интегрированию уравнения теплопроводности Лапласа. До сих пор решение этого уравнения давалось только для простейших тел: цилиндра, кольца, шара. Для элементов тормоза, имеющих сложную форму, решение этого уравнения чрезвычайно затруднено. Поэтому определение температурного поля путем решения трехмерной задачи для такого сложного тела, каким является тормоз, практически невозможно, и приходится ограничиваться одномерным решением, принимая большое количество различных допущений, в той или иной мере отражающихся на точности расчета. И все же полученные уравнения получаются весьма сложными для использования и требуют для своего решения экспериментального определения многих величин, входящих в уравнения и характеризующих процесс теплоотдачи данной конкретной конструкции тормоза, работающей в определенных условиях. Таким образом, имеющиеся методы теплового расчета тормозных устройств являются или чрезмерно схематичными, дающими лишь приближенную оценку теплового нагружения трущейся пары, или чрезмерно громоздкими и сложными для практического применения. Большинство указанных методов пригодно для решения частных задач, решаемых путем различных допущений, имеющих узкие пределы применимости. Определение степени нагрева тормозного шкива с полным учетом всех механических и теплотехнических факторов может быть выполнено достаточно точно только на основании тесной увязки аналитических методов решения и обобщения результатов всесторонних экспериментальных исследований.

Прежде чем приступать к численному интегрированию уравнения (3.11), ожидаемый результат можно оценить каким-нибудь приближенным методом. Такая оценка, во-первых, облегчает численный поиск РКР, во-вторых, до известной степени предот-

Постоянная А является статически определимой. Интегрированию уравнения (7) посвящен ряд работ, появившихся в последние годы.

замкнутым двигателем. В общем виде решение этой задачи сводится к интегрированию уравнения (1. 28), которое перепишем в виде

В отличие от первой из указанных работ, мы здесь не прибегаем к приближенному интегрированию уравнения движения, а ограничиваемся рассмотрением приближенной кинематической схемы процесса движения и сопровождающих его явлений.

Это приводит к простому интегрированию уравнения работы слоя [9]: