Интерполяционных полиномов

Проведено комплексное исследование задач, связанных с расчетной оценкой долговечности высоконагруженных элементов конструкций при неизотермическом малоцикловом нагружении. Приведены результаты численного исследования кинетики напряженно-деформированного состояния в опасных зонах оболочечных элементов конструкций при малоцикловом термомеханическом нагружении. Предложены интерполяционные соотношения для инженерной оценки максимальных упругопластических деформаций в опасных точках деталей. Выполнены расчеты долговечности высоконагруженных оболочечных конструкций при малоцикловом термомеханическом нагружении на основании деформационно-кинетического критерия прочности и правила суммирования усталостных и квазистатических повреждений.

2.3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ

Для расчета максимальных напряжений а и упругопластических деформаций е (рис. 2.40) в опасной точке зоны концентрации напряжений при статическом нагружении (нулевой полуцикл) обычно используют интерполяционные соотношения Нейбера

Интерполяционные соотношения Нейбера и Стоуэлла могут приводить как к завышенным значениям максимальных напряжений (на 10 — 20 %) и деформаций (на 200 ... 240 %), так и к заниженным результатам по напряжениям (до 10 %) и максимальным упругопласти-ческим деформациям (до 25%) [ 7 ].

гопластическому деформированию (показателя упрочнения т, предела текучести от и модуля упрочнения Ст ). Интерполяционные соотношения (2.106) и (2.107) не отражают в полной мере поведения материала за пределами упругости, а также жесткости нагружения.

По предложению С.В. Серенсена, Н.А. Махутова и P.M. Шнейдеро-вича интерполяционные соотношения типа (2.115) распространены на случай циклического нагружения :

Модифицированные интерполяционные соотношения (2.118) — (2.125) для малоциклового и длительного малоциклового нагружения получили расчетное и экспериментальное обоснование [2, 11, 17,29] и оказались эффективными для оценки прочности некоторых конструктивных элементов, например, полосы с отверстием (аа = 2,65) или гиперболическими боковыми вырезами (аа = 1,84; 2,77; 4,34; 5,66) при постоянных умеренных и повышенных температурах, когда проявляются временные эффекты. В ходе исследований установлено удовлетворительное соответствие решений уравнений (2.118) — (2.125) результатам расчета с помощью МКЭ и экспериментов (с использованием методов муара, делительных сеток), проведенных в идентичных изотермических условиях.

Следует отметить важную особенность, связанную с применением в инженерной практике, приближенных методов определения упруго-пластических деформаций: интерполяционные соотношения, описанные ранее, справедливы только для зон элементов конструкций с ярко выраженными конструктивными концентраторами напряжений, когда распределение напряжений и деформаций оценивают по номинальным их значениям.

Обобщенные интерполяционные соотношения (2.142) и (2.143) позволяют рассчитать напряжения и деформации в локальных зонах конструктивных элементов.

Предложенные интерполяционные соотношения позволяют с единых позиций описывать упругопластическое деформирование в локальных зонах конструктивных элементов. Используя параметр интерполяции К, интерполяционные соотношения (2.106) и (2.115) можно привести к виду

Анализ данных, приведенных в табл. 2.7, показывает, что использование интерполяционных соотношений (2.150) и (2.151) для расчета малоцикловой долговечности элементов конструкций может привести к результатам, идущим не в запас прочности: расчетные значения долговечности могут превышать действительные значения в 2,5 раза и более. Однако при ау <2,5 зависимости (2.150) и (2.151) обеспечивают погрешность долговечности не более 10 %. Такую же погрешность при всех исследованных уровнях нагрузок и коэффициентов концентрации напряжений дают интерполяционные соотношения. (2.142) и (2.143).

Для оценки качества приближения введем оценочную функцию Ф, описание которой будет дано ниже. Рассмотрим в качестве аппроксимирующих функций множество интерполяционных полиномов заданной степени т, где т gC n, которые могут быть построены на основе информации, представленной таблицей (1).

для которого Lm (a;hi) = yfti, i — О, 1, 2, . . ., т и который приближенно представляет функцию у = / (х) при х =^= xh , i = = 0, 1, . . ., m. Если число точек таблицы (1) тг + 1, а степень интерполяционного полинома т, то существует С™^ различных интерполяционных полиномов степени тге, которые могут рассматриваться как возможные аппроксимации функции у — f (x) на [х0, хп].

В противном случае мы вынуждены будем экстраполировать на [xr, xs], а это, как известно, дает значительно худшее приближение по сравнению с интерполированием. Следовательно, из общего числа Cn+i возможных интерполяционных полиномов нужно выбросить те, для которых соответствующие наборы точек (3) не удовлетворяют условию (5).

Число членов этой убывающей подпоследовательности конечно, и существует минимальный элемент, соответствующий наилучшему приближению среди интерполяционных полиномов заданной степени т. Для поиска такого элемента требуется, очевидно, просмотреть все возможные интерполяционные полиномы, построенные на материале таблицы (1).

В этом случае метод случайного выбора узлов интерполяции должен быть заменен систематическим для анализа всех возможных интерполяционных полиномов. Однако в практических приложениях может быть указана превосходящая минимальный элемент нижняя граница eps для оценочной функции, достижение которой достаточно. И здесь стохастический метод дает возможность гораздо быстрее приблизиться к минимуму, чем систематический перебор. Остановимся на том члене последовательности, который не превосходит этой границы eps. Соответствующий интерполяционный полином является аппроксимирующей функцией, дающей лучшее приближение заданного участка изменения функции по сравнению со всеми рассмотренными ранее интерполяционными полиномами. Аналогично подпоследовательности, сходящейся к нулю, можно строить подпоследовательность, сходящуюся к оо, каждый новый член которой соответствовал бы полиному, дающему худшее приближение у — / (х) по сравнению с ранее просмотренными сериями из т + 1 точки в смысле выбранной оценочной функции.

begin comment gi: порядковый номер г точки с абсциссой х/, g2: порядковый номер s точки с абсциссой xs; ас: случайное целое неотрицательное число; т: степень интерполяционного полинома; п: число точек в таблице (1); i, si: переменные цикла; е: максимум в массиве a; d: минимум в массиве a, /d, k2, k3', k: константы; hp: средняя арифметическая массива v; p: средняя арифметическая массива t\ w: оценочная функция; z: равна 2ef; eps: нижняя граница оценочной функции; max w, min w: наибольшее и наименьшее значения оценочной функции; а: массив номеров точек таблицы (1), служащих узлами интерполяции; max a, min a: соответственно массивы номеров точек таблицы (1) — узлов интерполяции, дающие наибольшее и наименьшее значения оценочной функции; х, у: соответственно массивы абсцисс и ординат узлов интерполяции; max x, max у, min x, min у: соответственно массивы абсцисс и ординат узлов интерполяционных полиномов с наибольшей и наименьшей оценочными функциями; и, t: массивы абсцисс и ординат точек таблицы (1); v: массив значений интерполяционного полинома в точках таблицы (1); г, д: массивы значений абсолютных и относительных погрешностей в точках таблицы (1). integer glt g2 ас, т, п, i, si, е, d, М, k2, k3, k; real hp, p, w, z,

1. Задача кусочно-кубической интерполяции. Алгоритмы интерполяции функций по точным данным, определенным на дискретном множестве точек, как правило, основаны на использовании интерполяционных полиномов Лагранжа или теории сплайнов, интенсивно развиваемой в последние годы. При этом относительно интерполируемой функции / (х) вводится априорное предположение о том, что она обладает производными до некоторого порядка. Алгоритм кусочно-кубической интерполяции и его программная реализация рассмотрены в [1].

Для расчетов в области влажного пара по линии насыщения Мейером, Веспером и др. [Л. 10] предложены более простые уравнения в виде интерполяционных полиномов 8 — 10-го порядка:

Для распознавания пересекающихся графиков можно применять также экстраполирование при помощи интерполяционных полиномов или полиномов наилучшего приближения. Удобной для практического применения является вторая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих координат, которая после преобразования имеет вид

Расчет у ведется на основании закона соответственных состояний [79, 80]. Для приведенной температуры т > 1,3 и приведенного давления л sg; 12 коэффициент летучести достаточно точно вычисляется по уравнению Мэрона и Тэрнбала [81]. Для нахождения коэффициента летучести при т < 1,3 (вычисление при л ^> 12 не требуется) в литературе имеются лишь экспериментальные данные, приведенные в виде таблиц. Соответственно была разработана подпрограмма для нахождения коэффициента у по табличным значениям функции методом линейной интерполяции. При этом необходимая точность обеспечена за счет малого шага таблиц по давлению и температуре. Значения индивидуальных составляющих компонент идеального газа определяются с помощью интерполяционных полиномов [78]

+ ... + pnj^; + рп = Pj (J = 1, 2, ..., п + 1) относительно коэффициентов характеристического полинома. Здесь Р/ — вычисленные значения определителя. Возможны другие варианты с использованием интерполяционных полиномов. Подробный анализ [108] показал, что этот метод приводит к большим относительным погрешностям коэффициентов полинома и собственных значений.