Инвариантны относительно

Поэтому в конце книги помещены написанные нами два дополнительных обзора. Первый «Вычисление инвариантных интегралов в особых точках» представляет собой краткий ответ на указанные вопросы, а также охватывает ряд крупных работ по данной теме, появившихся после выхода в свет книги. Во втором «Расчет энергетического интеграла методом эквивалентного объемного интегрирования» представлен вычислительный подход к определению инвариантного интеграла с использованием метода конечных элементов для решения краевой задачи.

В гл. 1 проф. Эрдоган отвечает на вопрос, является ли теория разрушения теорией или же искусством. Он приходит к выводу о том, что теория разрушения представляет собой отрасль науки, дающая сообществу механиков не только фундаментальные концепции, но также и инструмент для работы (включая численные методы, о которых идет речь в этой книге). В гл. 2 проф. Кобаяси приводит очень краткий перечень методов и принципов линейной механики разрушения упругих тел. Проблемы механики упругопластического разрушения собраны проф. Атлури и Кобаяси в гл. 3. В гл. 4 проф. Фрёнд дал весьма тщательный обзор некоторых теоретических аспектов проблемы быстрого распространения трещин. В гл. 5 проф. Атлури подытожил результаты, связанные с энергетическими подходами и применением инвариантных интегралов в проблеме упругого, упругопластического и неупругого разрушения, а также разъяснил полезность этих подходов при численном исследовании задач о разрушении. Остальная часть книги полностью посвящена применению численных методов для оценки тех или иных характеристик процесса разрушения. В гл. 6 проф. Атлури и д-р Накагаки привели подробный перечень конечно-элементных приближений с использованием элементов высшего порядка точности, сингулярных и гибридных элементов для численного анализа плоских задач упругого или упругопластического разрушения. Краткий перечень гибридно-сингулярных моделей, методов граничных элементов и смешанных аналитико-численных методов, применяемых для исследования дефектов в трехмерных телах и конструкциях, дали проф. Атлури и Нисиока в гл. 7. Модель, использующая одномерную пружину, которая может привести к очень простым и полезным решениям задач о трех-

Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

352 Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

354 Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

358 Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

Таким образом, абсолютно правильные, вытекающие из физических законов сохранения инвариантные Г-интегралы оказываются расходящимися в сингулярностях, т. е. теряют инвариантность в особых точках. Потеря инвариантности Г-интеграла даже в особой точке недопустима, так как она означает нарушение закона сохранения энергии в этой точке. Необходимо было любой ценой спасти инвариантность и законы сохранения, даже если бы для этого пришлось изменить обычные правила интегрирования. С этой целью еще в 1965 г., когда была закончена работа [1], автор разработал эвристическое правило интегрирования расходящихся инвариантных интегралов в особых точках, сохраняющее их инвариантность.

360 Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

362 Вычисление инвариантных интегралов в особых точках

2. Черепанов Г. П. Расходимость инвариантных интегралов в особых точках и Г-интегрирование. — ФТПРПИ, 1989, № 3.

Далее можно было бы совершенно аналогично спроектировать равенство (44) сначала на ось т], а затем на ось ?, и определить так выражения для /(,, и /Cj. Можно, однако, поступить иначе. Правая часть выражения (45) содержит лишь элементы тензора инерции относительно осей 1, г\, ? и проекции вектора ш на эти же оси, а левая часть — проекцию на одну из этих осей вектора Ко- Все операции над векторами и тензорами инвариантны относительно циклической перестановки осей, лишь бы при этом не менялась взаимная ориентация осей, т. е. правая система координат переходила в правую же систему. Дважды выполняя циклическую перестановку осей, т. е. элементов тензора инерции

Уравнение (58) содержит лишь элементы тензора инерции и проекции векторов о> и М на оси координат ?, т), ?. Выше уже говорилось, что любые операции над тензорами и векторами инвариантны относительно циклической перестановки осей этой

Трансформация механической энергии в другие формы приводит к необратимости. Примером системы такого рода является система с трением. Необратимость процесса означает, что уравнения, описывающие макроскопическое поведение системы и ее мгновенное состояние, не инвариантны относительно обращения времени. В общем случае систему эволюционных уравнений диссипа-тивной системы представляют в виде:

6. Выполняется принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу в механическом отношении, все законы механики одинаковы в этих системах отсчета, или, другими словами, инвариантны относительно преобразований Галилея.

где dt/dt=(l — р2)-1/2. Поскольку же Мит инвариантны относительно преобразования Лоренца, из (18) и (19) можно заключить, что рх, ру> рг и Е/с2 преобразуются по Лоренцу совершенно так же, как соответственно х, у, z и t. Зная преобразование этих последних четырех величин, мы легко получаем соотношения (20). Таким образом, используя преобразования, приведенные в гл. 11, мы приходим к преобразованию импульса и энергии:

Трансформация механической энергии в другие формы приводит к необратимости. Примером системы такого рода является система с трением. Необратимость процесса означает, что уравнения, описывающие макроскопическое поведение системы и ее мгновенное состояние, не инвариантны относительно обращения времени. В общем случае систему эволюционных уравнений диссипа-тивной системы представляют в виде

Поликристаллы, не подвергавшиеся воздействию внешних полей (упругих, электрических, магнитных), в среднем изотропны и элементов симметрии не содержат. Однако при воздействии на поликристалл упругих, электрических или магнитных полей характер симметрии поликристалла изменяется. В нем появляются элементы симметрии, вызванные внешним воздействием. Каждому элементу симметрии соответствуют определенные операции симметрии: отражения в [плоскостях симметрии, вращения вокруг осей симметрии и др. Уравнения, описывающие различные явления, происходящие в поликристаллах, должны быть инвариантны относительно соответствующих операций симметрии. Мысленно выделим в поликристалле шарик, в пределах которого можно пренебречь изменением интенсивности намагничения. До намагничения шарик изотропен, т. е. все направления в шарике равноправны. При воздействии магнитного поля шарик

Поскольку тензор «гь является квадратичной функцией /3, то любая плоскость, проходящая через ось симметрии (ось OZ), является плоскостью симметрии. При наличии элементов симметрии компоненты тензора а^ не являются независимыми. Для нахождения связи между компонентами воспользуемся тем обстоятельством, что характер зависимости, описываемой соотношениями (6), не должен изменяться при соответствующих операциях симметрии. В частности, соотношения (6) должны быть инвариантны относительно операции зеркального отражения в плоскостях симметрии.

!) Л. И. Седовым и его сотрудниками показана возможность представления конечных точечных кристаллических групп и текстур посредством тензоров, компоненты которых инвариантны относительно этих групп. Систематическое изложение этого вопроса дано, в частности, в статье В. В. Л ох и на и Л. И. Седова «Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов» (Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3. См. также Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Том. I. Издание третье, «Наука», 1976. Добавление I).

Поскольку зависимостью типа (2.27) связаны круговая частота сети о)с и синхронная угловая скорость ротора, то для перехода к механическим угловым величинам в уравнениях (2.26) необходимо заменить са0 в эл. рад/с на юс в рад/с. Отметим также, что согласно исследованиям, изложенным в работе [91], электромагнитный вращающий момент и скорость вращения ротора инвариантны относительно фазы i включения напряжения сети. Поэтому в выражениях для напряжений статора

Характерной особенностью ряда задач такого рода является то, что классы распознаваемых объектов инвариантны относительно той или иной группы преобразований G. Формально это означает, что значения решающих предикатов (7.4) не изменяются при всевозможных преобразованиях g из G, т. е, aft (со) = = oh (gco) при всех g G G.