Инвариантности уравнений

Физический смысл определения фрактальной размерности регулярных фракталов сводится к следующему. Прямая линия представляет собой множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получаем то же самое множество точек. Кроме того, параллельное смещение линии не изменяет множество. Это означает, что прямая инвариантна относительно переноса и изменения масштаба, т.е. обладает свойством самоподобия. Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна, соответственно, 1, 2 и 3. В случае фрактальных множеств масштабный множитель равен

Физический смысл определения фрактальной размерности регулярных фракталов сводится к следующему. Прямая линия представляет собой множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получаем то же самое множество точек. Кроме того, параллельное смещение линии не изменяет множество. Это означает, что прямая инвариантна относительно переноса и изменения масштаба, т.е. обладает свойством самоподобия. Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна соответственно 1, 2 и 3. В случае фрактальных множеств масштабный множитель равен

Теперь, чтобы предсказать поведение любой системы, которая обладает линейными свойствами и инвариантна относительно переноса во времени [1, стр. 89], вводят так называемую частотную передаточную функцию RH. По определению,

Операция сложения тензоров инвариантна относительно преобразований систем координат.

* Для изотропной среды индикатриса инвариантна относительно угла между направлениями приходящего и рассеянного лучей.

** Обычно отражательная способность поверхности инвариантна относительно угла падения луча на поверхность 1^,

IX. Медиана любой однозначной монотонной функции Y — — f \X\ случайной величины X (как линейной, так и нелинейной) равна той же функции от медианы, т. е. инвариантна относительно нелинейных преобразований:

Это дает возможность построить наглядную номограмму, график которой приведен на рис. 5.3; хд здесь играет роль параметра. Кроме того,, в (5.125) зависимость jc<0>=x(°> (хя; Agn/g') инвариантна относительно проводимости изоляции в средней точке, g(l/2), что позволяет применять ее для электрогенерирующих систем с фиксированной относительно «массы» (с- помощью специального сопротивления) средней точкой.

Как следует из рис. 6-20, теплоотдача инвариантна относительно продольного линейного размера поверхности теплообмена. Влияние линейного размера -проявляется через температурный напор. Конечно, этот вывод справедлив применительно к используемым данным и вследствие этого ограничен.

возможно лишь тогда, когда G — диагональная матрица. Эта норма инвариантна относительно ортогональных преобразований. Поэтому среди всех ортогональных преобразований матрицы G преобразование типа (7) делает сумму квадратов диагональных элементов наибольшей, а внедиагональных элементов наименьшей.

Классический способ решения этой последней задачи состоит в использовании известного критерия Рауса—Гурвица, однако во многих случаях для инженерных расчетов оказываются более удобными частотные методы, поскольку используемая при этом частотная характеристика инвариантна относительно неособенного линейного преобразования системы и легко определяется экспериментально. Соответствующие кри-~f' I терии устойчивости, в частности наиболее известные критерии Найквиста и Михайлова, из-ложены в т. 1 справочника; там же рассмотрен эффективный метод выделения областей устойчивости в пространстве параметров системы, предложенный Ю. И. Неймарком и известный под названием ?>-разбиения; более подробные сведения можно найти в книге [45].

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L* может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L* вычисляется по формуле (64), «новый» лагранжиан (как функция «новых» переменных), вообще говоря, отличается от «старого» лагранжиана (как функции «старых» переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L* как функция «новых» переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция «старых» переменных, т. е.

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат.

*) Подробнее об инвариантности уравнений Лагранжа можно прочесть в книге И. М. Беленького, Введение в аналитическую механику, «Высшая школа», 1964.

Преобразования Лоренца можно получить также исходя из других требований, например из требования инвариантности уравнений Максвелла относительно линейного преобразования пространственных координат и времени.

Таким образом, в динамически подобных механических систе-мах масштабные коэффициенты параметров системы связаны соотношением (22.12), которое называют условием инвариантности уравнений движения подвижных систем (критерий подобия). Его записывают в более общем виде:

Сформулируем корреляционные модели неполного статистического описания процессов переноса импульса и скалярной субстанции при неоднородной турбулентности, не прибегая к введению полуэмпирических замыкающих соотношений (которые содержали бы при таком количестве уравнений огромное количество эмпирических констант). Предложенные модели в отличие от большинства полуэмпирических моделей обладают необходимыми условиями гали-леевой и тензорной инвариантности уравнений,, являются универсальными с точки зрения их использования для любых геометрических конфигураций в общем случае нестационарных турбулентных потоков при любых числах Прандтля (в пределах концепции несжимаемости).

В случае неоднолистной области задаваемого годографа скорости ее предварительно следует конформно отобразить на однолистную область во вспомогательной плоскости С = С(Хе~га). Ввиду инвариантности уравнений (38.1) относительно конформных преобразований области изменения независимого переменного Xe~/=l те же уравнения (38.1) справедливы и в плоскости С, причем функция

Так как подобные явления, соответствующие ре'шениям (3.14) и (3.12), принадлежат к одному классу, преобразование переменных по формулам (3.13) не должно изменять вида функции F, Следовательно, выяснение условий подобия данных явлений может быть сведено к исследованию условий инвариантности уравнений (3.12), (3.14) по отношению к преобразованиям подобия (3.13).

Из условий инвариантности уравнений (3.22) для модели 1 и натуры 2 следует:

Записывая систему уравнений (6.1)—(6.6), (6.7) для натуры и выполняя масштабные преобразования переменных по формулам (6.8), из условий инвариантности уравнений теории оболочек для модели и натуры (§ 3.2) получим уравнения связи между масштабами: