Криволинейных координат

Контур (рисунок) представляет собой изогнутую в пространстве петлю трубчатого сечения, состоящую из прямо- и криволинейных элементов внутренним диаметром 850 мм.

Все элементы контура, за исключением фланцевых разъемоТв и боковых вводов, выполнены из рулонных обечаек. На биметаллическую трубу (20К + 08Х18Н10Т) с толщиной плакирующего слоя 8 мм навита рулонная сталь марки 10Г2С1. Соединение элементов контура в транспортабельные узлы осуществлялось сваркой, с использованием специальных приспособлений. Радиус кривизны криволинейных элементов принят с расчетом обеспечения возможности их выполнения из рулонированных секторов (обечаек). Для криволинейных элементов с углом поворота в 180° радиус кривизны равен 1417 мм*.

Излагается применение многослойных рулонных обечаек в конструкции замкнутого циркуляционного контура, представляющего собой изогнутую в пространстве петлю трубчатого сечения. Описывается способ изготовления криволинейных элементов контура. Отмечается, что применение многослойных рулонных обечаек позволяет достичь значительной экономии нержавеющей стали при изготовлении контура.

Сравнение полученных результатов с точным решением показывает, что использование сложных конечных элементов значительно повышает точность расчетов при одном и том же числе степенен свободы (числе узлов). Так, в вариантах задачи (д) ц (е) по 8 узлов, по 16 степеней свободы, по 3 граничных условия и одному условию нагружения, однако для случая (е) мы имеем только один восьмиузловой изопараметрический элемент по сравнению с шестью треугольными регулярными для случая (д) и соответственно меньшее количество входной информации по связям в конечных элементах. Вместе с тем точность результатов для случая (е) на 50 % выше. Особенно это важно, если конструкция имеет криволинейную поверхность, так как при разбиении на конечные элементы с прямолинейными сторонами обычно требуется большое число элементов для моделирования геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в описании полей напряжений и перемещений. Поэтому представление конструкции с помощью криволинейных элементов позволяет сохранить требуемую точность решения, уменьшить затраты на описание геометрии.

Основными нагрузками, действующими на трубопроводную систему, являются усилия температурной самокомпенсации, вызываемой расширением материала труб при изменении температурного режима работы; внутреннее давление транспортируемой среды, вызывающее как изменение длины прямолинейных и криволинейных элементов, так и взаимные угловые перемещения концевых сечений криволинейных элементов, имеющих начальные неправильности формы; массовые силы — силы, определяемые собственной массой элементов, включая массу теплоизоляции и транспортируемого продукта; сосредоточенные силы — силы тяжести массивных элементов, смонтированных непосредственно на трубопроводе; монтажные натяги— предварительные смещения отдельных опорных сечений, создаваемые при монтаже трубопровода с целью снижения усилий •температурной самокомпенсации.

где г — текущая координата сечения в местных осях элемента (г=г/з) (0<2
Основной информацией на этом этапе подготовки исходных данных являются координаты узловых точек элементов и дополнительных точек криволинейных элементов в общей системе координат. В операцию подготовки исходных данных также входит нумерация элементов в пределах каждого суперэлемента, нумерация узлов внутри суперэлемента, нумерация узлов каждого элемента и составление матрицы блочных индексов. В случае применения суперэлементов матрица блочных индексов составляется только для трубопровода, набираемого из суперэлементов.

По физико-геометрическим характеристикам элемента и координатам его узлов вычисляются матрицы линейных и угловых преобразований [А] и [1] и матрицы жесткости [С] в местной и общей системах координат. С помощью матрицы блочных индексов формируется общая матрица жесткости. Используя исходные данные о внешних нагрузках, вычисляют вектор узловых возмущений R в общей системе координат. После определения вектора перемещений V вычисляют векторы полных узловых сил каждого элемента PI и внутренних сил Н, Затем для каждого элемента определяют положение опасного сечения и выполняют анализ напряженного состояния в наиболее опасных сечениях прямолинейных и криволинейных элементов. Расчетные значения реакций всех опор и векторов перемещений узлов, а также векторов напряжений в опасных сечениях выводят на печать.

Повышенная гибкость криволинейных элементов связана с проявлением так называемого эффекта Кармана — сплющиванием поперечного сечения трубы при изгибе. Это искажение поперечного сечения сопровождается появлением окружных изгибающих моментов и напряжений, которые могут быть в несколько раз больше номинальных напряжений изгиба, рассчитанных без учета сплющивания.

в условиях ползучести осуществляется введением некоторого коэффициента в выражениях обобщенных сил, соответствующих изгибающим моментам, т. е. для криволинейных элементов примем

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать «ложную» деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенное™ (h/R) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную «ложную» энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию «ложных» деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости.

Поверхность вращения, состоящая из ии-линдрических, конических и криволинейных элементов в любом их сочетании

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат х1 = а, я2 = Р, х3 = z, х°. Первые две координаты (а, р) системы представляют собой криволинейные координаты на срединной поверхности; соответствующие им координатные линии являются линиями главных кривизн. Третья координатная линия— кривая, касательная к которой направлена по нормали к поверхности, параллельной срединной, и в совокупности с двумя первыми образует ортогональную систему криволинейных координат. Однако при решении инженерных задач

Для конечноэлементной модели вводятся глобальная и локальная системы координат. Локальная система представляет собой правую Гауссову систему криволинейных координат а-,, а2, 2, причем ось а-) направлена по меридиану кольцевого элемента (рис. 4.2). Направление осей глобальной системы характеризует угол о, [80].

где индекс «т» означает операцию транспонирования матрицы. Уравнение составной криволинейной поверхности с криволинейной осью. Поверхности реальных машин, конструкций зданий и т. п. часто формируются из отдельных стыкуемых криволинейных поверхностей. Ниже изложен способ представления таких сложных поверхностей одной функцией. Поверхности могут стыковаться в направлении каждой из криволинейных координат ф и \/ с помощью операторов

Уравнение составной криволинейной поверхности с криволинейной осью. Поверхности реальных машин, конструкций зданий и т. п. часто формируются из отдельных стыкуемых криволинейных поверхностей. Изложенный метод дает возможность вывести уравнение такой составной криволинейной поверхности, которая строится как непрерывная из простых поверхностей. Эти последние могут стыковаться в направлении каждой из криволинейных координат ф и \з при помощи операторов:

Пример. Поверхность такова, что при подходящем выборе криволинейных координат, определяющих ее различные точки, можно выражение линейного элемента ds привести к виду

Исходная теория трехслойных оболочек произвольной формы была построена Рейсснером [232]. На оболочки с ортотропными несущими слоями и заполнителем она, по-видимому, впервые была распространена в работе Стейна и Майерса [268], где рассмотрены цилиндрические оболочки. Общей теории оболочек с анизотропными слоями посвящено удивительно мало работ. Можно отметить только исследование By [311], посвященное нелинейной теории пологих оболочек с ортотропными несущими слоями и линейную теорию Мартина [183], в которой трехслойные оболочки с анизотропными слоями описываются в общей ортогональной системе криволинейных координат. Осесимметричное нагружение трехслойных цилиндрических оболочек с ортотропными несущими слоями рассмотрено в работах Бейкёра [25] и Элдриджа [91].

2.3. Заключительные замечания. Анизотропные свойства тела в целом ряде случаев естественно описывать не в прямоугольной прямолинейной системе координат, а в той или иной системе криволинейных координат. Например, если не учитывать конусности ствола дерева, то анизотропность его описывается в цилиндрических координатах.

В других материалах ортотропность может быть отнесена к иной системе криволинейных координат. С другой стороны, в одной и той же системе криволинейных координат, как и в декартовой системе координат, у разных материалов анизотропность может быть различной. Очевидно, что выбор криволинейных координат для описания анизотропности не является произвольным, а обусловлен природой самого материала.

Напряжения по касательной к контуру в точках Р, Q, R, ... (фиг. П. II. 11) всегда обратно пропорциональны длинам РР', QQ', RR'', ... . Это свойство, впервые отмеченное Нейбером, было проверено с использованием криволинейных координат одним из авторов [2].

Рассмотрим тонкую оболочку, срединная поверхность которой 5 отнесена к ортогональной системе криволинейных координат «ь 02 и ограничена замкнутой линией Г (рис. 1). Координату у отсчитываем по нор-

За ось Ох принимается ось криволинейных координат вдоль обтекаемой поверхности (фиг. 21), а за ось Оу — нормаль в соответствующей точке к поверхности тела. Начало координат всегда берется