Квадратическим отклонением

Ковариационные матрицы К не только дают исчерпывающую информацию о погрешности положения съемочных точек, но и позволяют определить погрешность взаимного расположения любых двух съемочных точек / и j'. Точность этих и других данных удобно интерпретировать с помощью разработанных нами окружностей средних квадратических отклонений СКО (Шеховцов Г.А. Геометрическая интерпретация точности геодезической съемки подкрановых путей электронными тахеометрами //Тез. докл. науч.-техн.конф. проф.-преп. состава, аспирантов и студентов. Часть П. Нижний Новгород: ИГ АСА, 1994. С.93). Компоненты матрицы К дают возможность построить для каждой съемочной точки окружности СКО в

Из такого определения становится ясным, почему данный коэффициент запаса не обязательно гарантирует определенный уровень надежности. Обратимся к диаграмме Вернера (рис. 9), показывающей распределение прочности S и напряжений s. Поскольку распределения перекрываются, то существует определенная возможность разрушения, вероятность его увеличивается с увеличением степени перекрытия. Рис. 10 показывает, как может меняться вероятность разрушения при постоянном коэффициенте запаса, определяемом уравнением (16). Ясно также, что, изменяя среднее квадратическое отклонение обоих распределений, можно существенно изменять вероятность разрушения, сохраняя коэффициент запаса постоянным (рис. И). Дальнейшее подтверждение сказанному содержится в табл. 8, показывающей влияние на надежность различных величин средней прочности, средних напряжений и средних квадратических отклонений этих величин при постоянном коэффициенте запаса [23].

где g = S—s и 0 = (а + а?)1/2(03 и as — оценки средних квадратических отклонений). Поскольку надежность определяется площадью между 0 и оо ( + vz) под кривой распределения разности, то

Зависимость средних квадратических отклонений разруша-ющих напряжений в клеевом слое от их средних значений представлена на рис. 29; прямая проведена с использованием методов линейного регрессионного анализа. Эту прямую можно считать удовлетворительной аппроксимацией среднего квадратического отклонения во всем диапазоне экспериментальных данных (повышение порядка аппроксимации приводит лишь к незначительному ее улучшению). Достоинством приведенного подхода является использование большого числа данных, намного превышающего

ского отклонения в зависимости от средней погонной нагрузки, передаваемой слоем. Поскольку и прочность клеевого слоя и погонное усилие определялись при одной и той же разрушающей нагрузке, то их зависимости должны быть пропорциональными, а прямые линейной регрессии — параллельными. Это подтверждается рис. 34, где приведены обе оценки соответствующих средних квадратических отклонений.

Рис. 34. Зависимость средних квадратических отклонений от средней величины передаваемой нагрузки: 1 — S (кгс/см2); 2 — S' (кгс/см на слой)

Приведенное соотношение средних квадратических отклонений Sis a_, и Sig N показывает, что рассеяние значений пределов выносливости существенно меньше, чем рассеяние долговечностей, так как т = 5-г-12 для левой ветви и т ^ 50 — для правой ветви (т — > оо — для горизонтального участка) кривой усталости.

Из рассмотренного основного свойства средних квадратических отклонений [формула (7)] вытекает важное следствие.

Формулы для расчета контрольных границ с применением средних квадратических отклонений о при различных объемах пробы п

Так, соотношение знаков 2 : 1 получается при трех — шести деталях. В обоих случаях положение центра группирования определится как 0,43 сг2 от заданной точки наладки. Величины средних квадратических отклонений, характеризующих закон распределения центра группирования, составляют при этом соответственно 0,79 и 0,56.

Рис. 2. Полигоны распределении выборочных средних квадратических отклонений для

где v=-Sj/T -••- коэффициент вариации момента Т; //==//Тв„ — средний коэффициент запаса сцепления, обозначенный буквой п, чтобы не спутать со средним квадратическим отклонением.

При очень большом числе опытов я и s будут с большой вероятностью весьма близки к m и о (оценки, обладающие такими свойствами, называются состоятельными). Кроме того, желательно, чтобы, пользуясь величинами х вместо m и s вместо а, мы не делали систематических ошибок в сторону завышения или занижения (такие оценки называются несмещенными) . Наконец, выбранные несмещенные оценки должны обладать по сравнению с другими оценками минимальным средним квадратическим отклонением. Оценки, обладающие таким свойством, называются эффективными. В связи с этим Гаусс предложил метод наименьших квадратов (точнее, минимума суммы квадратических ошибок). Следуя Гауссу, определим vi = Xi — m и обозначим квадратными скобками сумму по t от 1 до п, например

Средним квадратическим отклонением приближающей функции от заданной функции F(x) на отрезке [а, Ь] называют величину

Средним квадратическим отклонением случайной величины q,-называют величину

находят из условий обращения в минимум среднего квадрати-ческого отклонения заданной функции у — f(x) на отрезке (х0, хт). Под средним Квадратическим отклонением Акв от заданной функции принимают

Так, на рис. 30, а и б приведены вероятностные характеристики прочности (предела прочности ав) для авиационного алюминиевого сплава АМГ6Н и тол'щины стенок Д фасонных профилей [23]. Как видно из гистрограмм, эти показатели имеют дисперсию и при аппроксимации нормальным законом оцениваются математическим ожиданием М и средним квадратическим отклонением о. Хотя материал и размеры сортамента и удовлетворяют техническим условиям, рассеивание данных показателей окажет влияние на ход процесса старения (например, на развитие усталостных трещин), и каждая реализация процесса будет отражать конкретные значения начальных параметров данного изделия.

Определение 9. Средним квадратическим отклонением приближающей функции Р (х) от заданной F (х) на отрезке [a, b ] называется величина

Приведем обзор вероятностных аспектов длительной прочности. Библиография по длительной прочности композитов приводиться не будет; эти данные можно найти в других источниках. Поскольку «статическая» прочность может рассматриваться как прочность при t = 0 в истории нагружения материала, то большинство результатов, полученных с применением вероятностных методов в статическом случае, применимо и в случае длительного нагружения. При длительном нагружении время до разрушения изделия является случайной величиной и всегда должно оцениваться статистическими способами. Долговечность обычно оценивают тремя параметрами: 1) средним значением времени до разрушения; 2) частотой или плотностью вероятности; 3) средним квадратическим отклонением.

Величина v является случайной, изменяющейся от изделия к изделию. Рассмотрим случай, когда распределение нормально с математическим ожиданием Vo, средним квадратическим отклонением сг„ и коэффициентом вариации W, равным

Если величины a_t и 0„ распределены нормально, то учитывая известные из теории вероятности соотношения между коэффициентом вариации случайной величины и средним квадратическим отклонением ее логарифма

и средним квадратическим отклонением