Конечными деформациями

В качестве первого примера использования приводимых выше расчетных схем даны результаты исследования напряженного состояния в модели патрубковой зоны сосуда ВВЭР-1000, выполненной в масштабе 1:8 и нагруженной внутренним давлением в 7,5 МПа. Модель имеет двухрядную па-трубковую зону со взаимным расположением патрубков, соответствующим натурной конструкции корпуса реактора, и изготовлена по штатной технологии с отбортовкой патрубков. Материал модели — сталь со следующими свойствами: Е = 2,1 • 106 МПа, /i= 0,3. В силу симметрии модели рассматривается ее 1/8 часть, которая аппроксимирована 89 трехмерными конечными элементами изопараметрического типа с 20 узлами каждый, расположенными в один слой, поскольку поверхность модели существенно превышает ее объем. Использовалось 27 точек интегрирования на каждом элементе, из которых 3 точки по толщине. Конечноэлементная сетка, составленная из указанных элементов, имела сгущение вблизи галтельного перехода патрубка в корпус и показана на рис. 4.2 (выполненном не в масштабе).

Настройка гитары подач связана со временем цикла полной обработки зуба, который выполняется за один оборот распределительного вала. Тогда конечными элементами цепи будут электродвигатель и распределительный вал, а за расчетные перемещения можно принять Число оборотов электродвигателя за время цикла и один оборот распредели-

на рабочий ход. Конечными элементами делительной цепи будут вал с муфтой УИ4, которая дает вращение корпусу дифференциала, и стол с заготовкой. Делительный процесс идет до тех пор, пока не произойдет один относительный оборот дисков, который равен разности их абсолютных перемещений, т. е.

Метод, в основу которого были положены изложенные идеи, называется методом конечных элементов (МКЭ), а элементы, которыми он аппроксимируется,— конечными элементами (КЭ). В настоящее время этот метод получил исключительно широкое применение для решения задач механики сплошных сред благодаря своей универсальности, ясной инженерной интерпретации и удобству реализации на ЭВМ.

Стержневой конечный элемент, изображенный на рис. 5, а, является представителем целого семейства конечных элементов. Рассматриваемый в совокупности с элементами того же типа, он описывает фермовые и пространственные рамные конструкции. С его помощью в совокупности с элементами других типов, особенно с пластинчатыми конечными элементами, обычно описывают подкрепленные элементы конструкции.

Оставим эту работу заинтересованному читателю, а для остальных отметим, что для большинства изопара-метрических криволинейных конечных элементов (в дальнейшем назовем их сложными изопараметрическими конечными элементами) явное интегрирование матрицы [К\ невозможно. Поэтому используются различные приемы численного интегрирования, а это, как известно, ведет к значительным затратам процессорного времени ЭВМ, в то время как матрицы жесткости регулярных конечных элементов могут быть получены аналитически и требуют незначительных затрат машинного времени.

Возникает вопрос: какими конечными элементами пользоваться в том или ином случае? Ответить на этот вопрос вместе с читателем мы попытаемся в следующем разделе.

Поэтому начинающему проектировщику следует сначала поработать с простыми конечными элементами. С ростом квалификации пользователя более привлекательным становится использование элементов высоких порядков, обеспечивающих более высокую точность получаемых результатов.

Конечными элементами на этих схемах являются стержни (в случае пространственной рамы рис.в.1), плоские треугольники (в случае пластинки рис.в.2), криволинейные четырехугольники (в случае оболочки рис.в.З).

Оболочка образована геодезической перекрестной спиральной намоткой ленты стеклопластика .в четыре слоя (№№ 1 — 4), (см. рис. 4.19). На цилиндрической части имеет место кольцевая подмотка шестью слоями (№№ 5 — 10) стеклопластика. Контур днища и закон изменения угла армирования рассчитан по зависимостям [37]. Толщина стенки днища рассчитана с учетом ширины ленты стеклопластика, поэтому непосредственно на полюсе она равна нулю. Днище аппроксимировано 60 конечными элементами с длиной

ретизация) — конечными элементами (КЭ) объемов

Таким образом, зная режим сварки, погонную энергию можно вычислить по формуле (18). Однако при разработке вариантов технологического процесса по условиям получения сварной конструкции с минимальными конечными деформациями, при технико-экономическом обосновании выбора варианта и других предварительных разработках возникает необходимость оценки величины погонной энергии в зависимости от размеров шва.

Оболочечный элемент с конечными деформациями 4 3D Перемещения ( X, Y, Z ) вращение ( X, Y, Z )

Твердотельный элемент с конечными деформациями MI -*^ \ О __ ^* 8 2D Перемещения (X, Y, Z )

B. Связь напряжений с конечными деформациями.......347

В. Связь напряжений с конечными деформациями

.--------------конечными деформациями 347

Возрождение интереса к данной проблеме стало возможным в 1920 - 1930-е гг., когда техника физического эксперимента достигла уровня, обеспечивавшего корректное измерение малых нелинейных акустических эффектов. Стимулом к дальнейшей разработке соответствующих теоретических представлений оказался интерес к определению упругих констант высших порядков для кристаллов и поликристаллических материалов. Классический пример анализа проблемы, не утративший своего значения до сегодняшнего дня, содержится в трудах Ф. Мурнагана [283], который развил Лагранжеву модель с целью прогнозирования взаимодействия напряжений с конечными деформациями и доказал принципиальную возможность расчета изменений скорости упругой волны по известным значениям напряжений и упругих модулей второго и третьего порядка. Первые попытки экспериментального определения упругих модулей материала при статическом нагружении образцов были осуществлены в 1938 г. Ф. Бир-чем[152].

В этом параграфе мы ограничимся задачами теории малых деформаций (что не повлияет на общность излагаемых результатов). Особенности, вносимые в проблему конечными деформациями, будут рассмотрены в гл. 5; там же будут даны соответствующие ссылки на литературу.

круга, внутри которого идут процессы, сопровождаемые конечными деформациями, — зарождение, рост и слияние пор, — также имеет порядок б. Из высказанных соображений ясно, что для монотонно нагружаемого упругопластического тела со стационарной трещиной радиус е (расстояние, измеряемое от начала затупленной трещины) контура Ге, фигурирующего в определении (24) интеграла Jt, характеризующего ближнее поле, должен выбираться из условия 36 «С е «С Я*. Это условие вводится для того, чтобы интеграл Jt, вычисленный по формуле (24), «ухватывал» сопротивление материала в состоянии, определяемом HRR-полем. Из тех же соображений вытекает, что для стационарных трещин в монотонно нагружаемых упругопласти-ческих телах (даже при использовании теории течения) независимости (приближенной) от пути интеграла J, вычисляемого по формуле (24), можно ожидать для всех контуров, радиус которых превосходит величину 36; если же е •< 36, то /-интеграл зависит от пути и в действительности может стремиться к нулю 167].

так как п\ равно нулю на отрезках, параллельных оси х\, а интеграл от (W -\- Т)п\, взятый по отрезкам, параллельным оси х2, в пределе 8->0 исчезает. Кроме того, возле вершины трещины щ ж — Cdui/dxi. На первый взгляд кажется, что (2.60) является корректным пределом соотношения (2.62). Однако этот вывод опроверг Ятоми [32], который показал, что предел при 8— >-0 должен быть определен после того, как рассчитан интеграл из (2.62); кроме того, в любом случае (2.20) приводит к правильным результатам даже в задачах с конечными деформациями в условиях нелинейной упругости независимо от формы Ге. Что

частицы и называются линейными конечными деформациями тензора А.Е.Грина. Наиболее часто встречающуюся в практике обработки металлов давлением величину относительной деформации