Конечными разностями

Геометрическая нерезкость обусловлена конечными размерами эффективного фокусного пятна источника и геометрическими параметрами устройства, формирующего радиационное изображение.

Наряду со структурно-фазовыми изменениями при поверхностной модификации в алюминиевом сплаве происходит изменение напряженно-деформированного состояния тонкого поверхностного слоя. Установленные изменения межплоскостного расстояния d и уширения бреггов-ских рефлексов при имплантации позволили рассчитать микронапряжения первого рода и определить напряжения второго рода, используя зависимости [88, 89] с разделением эффектов уширения, обусловленных микронапряжениями второго рода и конечными размерами блоков мозаики:

Геометрическая нерезкостъ обусловлена конечными размерами эффективного фокусного пятна источника и геометрическими параметрами устройства, формирующего радиационное изображение,

На контролируемую поверхность направляют пучок света, на пути которого вблизи поверхности (чтобы избежать существенного рассеяния лучей, вызванного конечными размерами источника света) располагают экран с прямолинейными краями. Границу тени при отражении светового пучка от поверхности, представляющую собой теневую картину профиля обследуемого участка поверхности, рассматривают через микроскоп.

Для пластины с конечными размерами эту задачу решал С. П. Тимошенко с помощью энергетического метода [371. Срединную-плоскость пластины при потере устойчивости он считал нерастяжимой и для подсчета изменения полной потенциальной энергии пластины использовал выражение

Описание явлений длительного разрушения изделий из хрупких керамических материалов находится на границе возможностей теории диссеминированных повреждений. Фактически повреждения накапливаются в этом случае главным образом в локальных зонах местных напряжений около отдельных наиболее острых технологических концентраторов с малыми, но все же конечными размерами (1.7). Плотность распределения таких концентраторов по объему материала невысока, так что в разных лабораторных образцах из одной и той же выборки оказываются концентраторы с различной степенью остроты. Это влечет за собой чрезвычайно большой разброс показателей кратковременного и особенно длительного сопротивления отдельных образцов. Однако иного способа описания повреждений керамических материалов, кроме как с помощью силовых уравнений повреждений, по-видимому, не существует. Деформационные и энергетические уравнения в этом случае не подходят, так как разрушения развиваются, по крайней мере, при одноосном и плоском напряженном состояниях, в отсутствие общих мгновенно- или вязкопластических деформаций. С другой стороны, о поведении материала под нагрузкой в изолированных зонах местных напряжений около концентраторов практически ничего не известно.

в — кубическая кладка частиц наполнителя; б — идеализированная элементарная ячейка с частицами наполнителя в узлах кубической решетки; в — изображение элементарной ячейки с конечными размерами; г — составляющие термического сопротивления ячейки.

При электрическом моделировании в плоскости течения заданной решетки в результатах измерений имеются неизбежные погрешности, связанные с конечными размерами ванны и относительно малыми размерами профилей. Указанные погрешности могут быть в значительной части устранены в случае электрического моделирования течения в плоскости конформного отображения внешности решетки на односвязную область. Здесь мы не останавливаемся на этом вопросе, поскольку более целесообразным оказывается описанное в § 36 применение электрического моделирования для непосредственного получения конформного отображения односвязной области, а не для построения в ней течения от вихреисточника и вихрестока.

Метод теневой проекции представляет собой видоизмененный метод светового сечения. Он удобен для исследования сравнительно грубых поверхностей. Принцип метода заключается в том, что на исследуемую поверхность направляют пучок света под некоторым углом и на пути этого пучка располагают экран с прямолинейными краями настолько близко к поверхности, что рассеяние лучей, вызванное конечными размерами источника света, невелико. Граница тени при отражении световых пучков от поверхности представляет собой теневую картину профиля того участка, против которого находится экран.

обусловленный конечными размерами частицы [282]. Правил!

изделий с заданными конечными размерами. Калибрование представля-

Разностную схему для определения разностного решения будем по-прежнему строить, заменяя в уравнении (3.1) и граничных условиях (3.2), (3.3) производные конечными разностями. Рассмотрим аппроксимацию производной по времени. В принципе для построения соотношений, аппроксимирующих временную производную, в /-и момент времени можно использовать значения температур в различные моменты времени: Т'п, Т7-1, Т7"2, .... Однако на практике в подавляющем большинстве случаев используются только значения температуры в /'-и и (/ — 1)-й моменты времени. Такие схемы называются двухслойными (повремени). Значительно реже учитывают значение температуры в (/—2)-й момент времени и получают трехслойные схемы. Дальше мы будем рассматривать только двухслойные схемы. В этом случае производную по времени аппроксимируют разностью назад

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую погрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета.

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таким образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27].

На первый взгляд схемь^ рассмотренные в главе 3, легко перенести на уравнение (5.2). Действительно, оно отличается от уравнения теплопроводности только членом v\/T, содержащим первые производные от температуры по координатам, которые можно аппроксимировать конечными разностями. Однако некоторые варианты такого «естественного» подхода приводят к неудачным численным схемам. Поэтому новый конвективный член вносит ряд существенных особенностей в процедуру выбора вида разностной схемы. Рассмотрим их на примере простейшего одномерного стационарного уравнения энергии

Имея в виду использование ЭВМ, для нахождения напряжений можно применить приближенный метод конечных разностей [36]. С этой целью диск вдоль радиуса разбивают на ряд сечений, а в уравнениях (8.8) и (8.9) дифференциалы заменяют конечными разностями:

Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются'приближенными соотношениями между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие-уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, включая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраических уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования современной вычислительной техники.

Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных уравнениях производных функции конечными разностями.

называют конечными разностями первого порядка функции / (х) в точках х, лг + Ал;, ..., х + п&х.

Система полученных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (5.5) может быть решена с использованием какой-либо разностной схемы на временном слое. В этом случае отрезок времени Dt разбивается точками r/t на интервалы Дг = tk + 1 - tk или Д^ = т IN, где N - достаточно большое число. Производная по времени от узловой температуры Г/1 заменяется конечными разностями в соответствии с одной из следующих форм:

Таким образом, описанная процедура эквивалентна нахождению корня уравнения d(K)=Q модифицированным методом Ньютона, где производные заменены конечными разностями. Движение, согласно (5.94) и (5.896), про-

Наибольшей универсальностью обладает метод конечных разностей (сеток) [Л. 54], пригодный для решения как линейных, так и нелинейных уравнений в частных производных с различным числом независимых координат. Метод сеток основан на замене производных по всем направлениям конечными разностями, подсчитываемыми по значениям искомых функций в узлах многомерной координатной сетки, покрывающей всю область решения. Шаг изменения координат должен быть приспособлен к границам области. Аппроксимируются соответствующими разностными операторами и граничные условия. В результате система уравнений в частных про-