Конформное отображение

являются метод конформных отображений для расчета ЭП с плоскопараллельным электрическим полем и однородной контролируемой средой и метод интегральных уравнений для конструкций ЭПс пространственным электрическим полем и гетерогенной контролируемой средой.

Сущность метода конформных отображений заключается в том, что исходная область ЭП, подлежащая расчету, конформно преобразуется в другую расчетную область, которая представляет собой известное решение электростатической задачи. Расчетные формулы емкости для основных конструкций ЭП приведены в табл. 1.

4. Естественно возникает вопрос: зачем потребовалось обосновывать принцип минимума кинетической энергии, если в работах М. А. Гольдштика и Ю. И. Петухова найдены приближенные методы определения радиуса свободной поверхности во вращающемся цилиндрическом потоке с потенциальным полем скоростей при тангенциальном подводе идеальной жидкости к круглой трубе? Ответ на этот вопрос прост: потенциальное поле скоростей - только частный случай бесконечного множества различных полей скоростей во вращающихся цилиндрических потках, а тангенциальный подвод жидкости к трубке представляет собой частный случай образования вращающегося цилиндрического потока с потенциальным полем скоростей. Подробное же рассмотрение вопроса показывает, что М. А. Гольдштиком и Ю. И. Петуховым не учтена неизбежность гидравлического прыжка при формировании вращающегося цилиндрического потока в длинных трубах l/d > 1, на которую достаточно подробно было указано в п. 5.3. Существование же гидравлического прыжка приводит к тому, что в рамках теории идеальной жидкости, т. е. без учета диссипативных потерь в прыжке может быть рассчитано только сверхкритическое состояние потока, а подкритическое можно рассчитать по уравнению гидравлического прыжка. Это обстоятельство очень хорошо подтверждено М. А. Гольдштиком в его книге [119, с. 128], где рассмотрен плоский аналог течения в форсунке — фонтан тяжелой жидкости в гравитационном поле. Вычисления глубины потока после плоского фонтана, выполненные на основе конформных отображений, показали, что режим течения идеальной жидкости далеко вниз по течению сверхкритический (Fr > 1). Тем самым уже доказано, что в невращающихся потоках в рамках теории идеальной жидкости режим течения является сверхкритическим, который при подпоре снизу вверх по течению, как на водосливе с широким порогом, будет гидравлическим прыжком переходить в подкритический.

Решение уравнений методом конформных отображений позволяет получить выражение

шины", „Справочник" т. 12). Применение конформных отображений позволяет по законам обтекания круга находить законы обтекания крыльев.

Таблицу важнейших конформных отображений см. на стр. 202—204.

Для тел сложной формы метод интегральных преобразований сохраняет силу, если удается построить полную систему собственных функций и определить соответствующие им собственные значения. Это принципиально выполнимо на основе вариационной формулировки соответствующей однородной задачи или применения метода конформных отображений области сложной формы на более простую [21].

Таблицу важнейших конформных отображений см. на стр. 202—204.

Для практических целей больший интерес представляет значительно более трудная обратная задача, так называемая о с-новная задача теории конформных отображений: заданы области G и G*; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной области на другую. Эту задачу можно решать, подбирая надлежащие комбинации элементарных •функций

Но еще более перспективно <в этом направлении применение проективной геометрии с ее обширной теорией аффинных преобразований. Для анализа затылованных поверхностей вполне уместно использование метода конформных отображений, который дает возможность точно проанализировать значения задних углов на боковых участках профиля (в зоне конхоидальных полей).

В тех случаях,'когда метод наложения полей оказывается неприменимым, возможно применение метода конформных отображений. Этим методом, например, А. С. Синельников решил задачу о теплопроводности через квадратную изоляцию трубопровода.

Функция sn и даёт конформное отображение прямоугольника

Осуществляя конформное отображение Х7 на получим в качестве допустимой области круг радиуса

Решение задачи об обтекании циркуляционным потоком кругового цилиндра позволяет найти обтекание произвольного профиля, если известно конформное отображение внешности этого профиля на внешность круга (фиг. 11). Если функция

Конформное отображение 510

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =/(z), обладает свойством, что в окрестности точки г, для которой да'^О, бесконечно малые векторы всех направлений: 1) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное j да' 1 (с точностью до бесконечно-малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w'. Фигуры в бесконечно малой области преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным; оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры; в частности, координатные линии х = const, у = = const преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно: для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых (изотермическая сетка), которая преобразуется в декар-тову прямоугольную сетку.

формных отображений: заданы области G и G*; тре-б\>ется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной области на-другую. Эту задачу можно решать, подбирая надлежащие комбинации элементарных функций.

шение задачи об обтекании циркуляционным потоком кругового цилиндра позволяет найти обтекание прмпполь-ного профиля, если известно конформное отображение внешности этого профиля на внешность круга (фиг. 11). Если функция

тельные контуры Конформное отображение 674 Конфузорно-диффузорные переходы 645 Конфузоры конические 645 Концентрация 364 -- водородных ионов (рН) 278 -- объемно-мольная 176 -- ядовитых примесей в производ-

Аналогичное конформное отображение можно указать и для пучков с относительным шагом, не равным единице. Это позволяет дополнить результаты, полученные при решении задачи в цилиндрических координатах.

причем изотермы горизонтальны (сплошные линии на рис. 3.19), а линии теплового тока, отмеченные линиями со стрелками, вертикальны. При помощи функции w = w (z'), обратной по отношению к выражению (3.102), это решение можно перевести в плоскость w, а затем по зависимости (3.101) - в плоскость z. Характер изотерм и линий теплового тока показан на рис. 3.17 сплошными и штриховыми линиями. Конформное отображение искажает изотермы и линии тока, но сохраняет их общее число и ортогональность, а также соотношение сторон каждой ячейки, заключенной между соседними изотермами и линиями тока. Это приводит к тому, что термическое сопротивление каждой такой ячейки и области в целом при конформном отображении не изменяется. Поэтому для исходного прямоугольника в плоскости z можно написать 1?т = Я'/(2А.В). Если отнести эту величину к термическому сопротивлению Щ = Н/(2А.Б) того же прямоугольника без ребер, то получим

Для практических целей больший интерес представляет значительно более трудная обратная задача, так называемая о с-новная задача теории конформных отображений: заданы области G и G*; требуется построить функцию, осуществляющую конформное отображение одной области на другую. Эту задачу можно решать, подбирая надлежащие комбинации элементарных •функций