Конформном отображении

Напряжения в матрице имеют большое значение в том случае, когда нагрузка приложена в направлении, нормальном к волокнам, поскольку в этом случае начало разрушения связано с концентрацией напряжений и деформаций в матрице. На основе несложного анализа Кис [42] вычислил рост деформаций на границе матрицы и волокна. Используя численные методы, Геррман и Пистер [35] получили точное решение в рамках теории упругости. Подробные решения той же задачи найдены Уил-соном и Хиллом [69] с помощью конформного отображения, Фойе [26], использовавшим метод дискретных элементов, Адамсом и Донером [2], применившими конечно-разностные схемы, а также Клаузеном и Лейсса [11], применившими метод поточечного сращивания. Аналитические методы разрабатывались также для учета влияния анизотропии (Уитни [68]), вязкоупругих свойств (Хашин [33]), пластичности (Шеффер [64]) и случайной упаковки волокон (Адаме и Цай [3]).

на коэффициент трения л. Для участка трещины с сомкнутыми берегами сила трения t пропорциональна относительному перемещению м, вызванному антисимметричной нагрузкой т. Для фрикционных граничных условий, показанных на рис. 17, б, комплексные потенциалы Фг и Ф2 могут быть определены при помощи конформного отображения и вычисления интеграла Коши в преобразованной плоскости. После соответствующих выкладок имеем

отдельных фрагментов. Поскольку пространственное представление проектов на бумаге недостаточно наглядно, на модели проще решить вопросы оптимального расположения трубопроводов, сочленения машин и агрегатов, расположения домов, улиц, мостов и т. д. В научном смысле с моделированием мы встречаемся уже в геометрии. Геометрическое пространство является объектом моделирования. Плоский чертеж представляет собой некоторую модель будущего изделия, известные из математики методы конформного отображения представляют собой также отображение каких-либо функций с одной поверхности на другую (более простую или более сложную). В научно-исследовательских экспериментальных работах наиболее часто мы имеем дело с моделированием физических явлений и процессов.

Развитие методов конформного отображения и применения электростатической аналогии, оптического моделирования позволило решить цикл новых задач о концентрации напряжений, о напряженности прессовых соединений, зубьев шестерен и ряд других для элементов машинных конструкций.

С помощью конформного отображения профиля зуба зубчатых колес на полуплоскость удалось изучить распределение напряжений у корня зубьев.

Ранее определение YF производили экспериментально (методом фотоупругости, тензометрированием) и теоретически из решения плоской задачи теории упругости при помощи функций комплексного переменного и конформного отображения зубообразного выступа на полуплоскость [39, 59] и др.

где С—контур цилиндра; v = vx— ivv', знак Re обозначает здесь действительную часть комплексного выражения. Метод конформного отображения.

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =/(z), обладает свойством, что в окрестности точки г, для которой да'^О, бесконечно малые векторы всех направлений: 1) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное j да' 1 (с точностью до бесконечно-малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w'. Фигуры в бесконечно малой области преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным; оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры; в частности, координатные линии х = const, у = = const преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно: для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых (изотермическая сетка), которая преобразуется в декар-тову прямоугольную сетку.

Метод конформного отображения. Ре-

Исследованные на стенде ЭРТ-1 ступени являются моделями ДРОС, предлагаемых ЛПИ в качестве разделителей потока для двухпоточных ЦНД мощных паровых турбин. Модели спроектированы и изготовлены с масштабом моделирования 6,25, обусловленным производительностью воздуходувной станции лаборатории турбиностроения. При моделировании учитывалась разница физических свойств рабочего тела натуры и модели. Для натурной ступени использовался перегретый пар (k = 1,3), для модельной — холодный воздух (k = 1,4). Поскольку соблюсти одновременно кинематическое и динамическое подобие достаточно сложно, при моделировании полностью соблюдено кинематическое подобие процесса в натуре и модели, а также максимально возможно сохранено геометрическое подобие. При этом числа Маха Мс1, М№2 получаются как средние между их значениями, соответствующими М = idem и kM? = idem. В области дозвуковых скоростей при МС1 = 0,857 такой выбор числа М модели наиболее полно отвечает динамическому подобию процессов [53]. Для лопаток НА выбран профиль ТС-ЗР, полученный методом конформного отображения профилей осевых турбин типа ТС-А. Профиль ТС-ЗР имеет утолщенную входную кромку, что делает его практически нечувствительным к углу натекания в интервале а0 = 70-МЗО0. Результаты опытного исследования [391 показывают, что профиль обладает хорошими аэродинамическими качествами не только в дозвуковой, но и в сверхзвуковой областях (М = 0,6-ь 1,2).

4. Метод приближенного конформного отображения

Если границы областей D и Д содержат дуги круга с и f, которые соответствуют друг другу при конформном отображении, то отображение продолжается в областях D + D' и Д -4- Д', где ?>', Д' — инверсии D, Д относительно дуг с, f, причём симметричные точки относительно с области D -f D' переходят в симметричные относительно f точки Д 4- Д'.

При конформных отображениях важную роль играет принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца: 1) если аналитическая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие на границах областей, то соответствие взаимно однозначно и внутри области; 2) если границы областей D и Д содержат дуги круга с и f, которые соответствуют друг другу при конформном отображении, то отображение продолжается в областях D _-i- D' и Д-(-где D', Д'_ инверсии облаете-" D,

причем изотермы горизонтальны (сплошные линии на рис. 3.19), а линии теплового тока, отмеченные линиями со стрелками, вертикальны. При помощи функции w = w (z'), обратной по отношению к выражению (3.102), это решение можно перевести в плоскость w, а затем по зависимости (3.101) - в плоскость z. Характер изотерм и линий теплового тока показан на рис. 3.17 сплошными и штриховыми линиями. Конформное отображение искажает изотермы и линии тока, но сохраняет их общее число и ортогональность, а также соотношение сторон каждой ячейки, заключенной между соседними изотермами и линиями тока. Это приводит к тому, что термическое сопротивление каждой такой ячейки и области в целом при конформном отображении не изменяется. Поэтому для исходного прямоугольника в плоскости z можно написать 1?т = Я'/(2А.В). Если отнести эту величину к термическому сопротивлению Щ = Н/(2А.Б) того же прямоугольника без ребер, то получим

При конформных отображениях важную роль играет принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца: 1) если аналитическая функция устанавливает взаимно однозначное соответствие на границах областей, то соответствие взаимно однозначно и внутри области; 2) если границы областей D и Д содержат дуги круга с и f, которые соответствуют друг другу при конформном отображении, то отображение продолжается в областях D + D' и Д + -}- Д', где D', Д' — инверсии областей D,

где щ— точки действительной оси полуплоскости j, в которые переходят точки многоугольника при конформном отображении; ос/— углы многоугольника, выраженные в долях я; С, Сл — постоянные. Отметим, что в (2-6-9) множители, соответствующие бесконечно удаленным точкам, выпадают. По теореме существования конформных отображений [Л. 2-30] три точки на действительной оси могут задаваться произвольно, а остальные ее. точки, а также постоянные С и Cj находятся из условий задачи.

Точке А при конформном отображении на полосу соответствует ш = 0, т. е. q>=0 и i) = 0. Следовательно, в этой точке р=1 и созгз=1. Подставляя эти выражения в формулу (2-15а), получим vs=oo. В точке В w — M, т. е. ф=0 и \j3 = ji. Следовательно, в этой точке р=1 и cos\J) = — 1 и У« = 0.

Применение конформных отображений области течения позволяет упростить вычисление комплексного потенциала и, в частности, свести расчет периодического течения через решетку к расчету течения в односвязной области. При последовательном применении метода прямая задача сводится к нахождению конформного отображения внешности заданной решетки на особенно простую (каноническую) область, после чего определение комплексного потенциала производится по прбстым конечным формулам при любых условиях обтекания. В расчете используется тот факт, что при любом конформном отображении внешности решетки из плоскости z на некоторую вспомогательную область в плоскости Z = Z(z) комплексные потенциалы в соответствующих точках равны (с точностью до несущественной постоянной), а комплексная скорость выражается как производная сложной функции

Важно отметить, что при рассмотренном конформном отображении точки Z = + х, соответствующие бесконечностям перед и за решеткой деформированных профилей, вообще говоря, тоже смещаются в некоторые новые точки полосы последнего отображения. Новые координаты этих точек выражаются формулами (17.14), под интегралами которых в том же приближении надо положить ? = ?:

конформном отображении (26.3) интенсивности вихреисточника и вихрестока не изменились, atl = <х01 и а(!2 = а02.

Краевые задачи связаны со значительным разнообразием контуров. Это приводит к необходимости при их решении использовать конформное отображение. Для решения подобных задач Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили разработан, Г. Н. Савиным развит мощный аппарат с использованием потенциалов Колосова — Мусхелишвили. Однако, как отмечает Л. И. Седов [38 ], использование конформных отображений в плоской задаче теории упругости отлично от такового в задачах гидродинамики. Это происходит потому, что бигармонические функции при конформном отображении перестают удовлетворять бигармоническому уравнению. Но, поскольку природа процессов одна, естественно продолжить поиски решения задач плоской теории упругости как задач Дирихле.

Изометрические координаты на поверхности обладают важным свойством: при конформном отображении семейство изометрических координатных систем инвариантно. Это означает [9], что если

При конформном отображении соблюдается соотношение